Cálculo Ejemplos

$(4 y + x^{2} y) d x + (y - 1) d y = 0$

Paso 1

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = 4 y + x^{2} y$ .

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Paso 1.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [4 y + x^{2} y]$

Paso 1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $4 y + x^{2} y$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [4 y] + \frac{d}{d y} [x^{2} y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [4 y] + \frac{d}{d y} [x^{2} y]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [4 y]$ .

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Paso 1.3.1

Como $4$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $4 y$ con respecto a $y$ es $4 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [x^{2} y]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [x^{2} y]$

Paso 1.3.3

Multiplica $4$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 + \frac{d}{d y} [x^{2} y]$

Paso 1.4

Evalúa $\frac{d}{d y} [x^{2} y]$ .

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Paso 1.4.1

Como $x^{2}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $x^{2} y$ con respecto a $y$ es $x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 + x^{2} \frac{d}{d y} [y]$

Paso 1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 + x^{2} \cdot 1$

Paso 1.4.3

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 + x^{2}$

Paso 1.5

Reordena los términos.

$\frac{\partial M}{\partial y} = x^{2} + 4$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = y - 1$ .

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Paso 2.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y - 1]$

Paso 2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $y - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.3

Como $y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $y$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 0$

Paso 2.5

Suma $0$ y $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0$

Paso 3

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 3.1

Sustituye $x^{2} + 4$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $0$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$x^{2} + 4 = 0$

Paso 3.2

Como el lado izquierdo no es igual al lado derecho, la ecuación no es una identidad.

$x^{2} + 4 = 0$ no es una identidad.

Paso 4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Paso 4.1

Sustituye $0$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{0 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Paso 4.2

Sustituye $x^{2} + 4$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{0 - (x^{2} + 4)}{M}$

Paso 4.3

Sustituye $4 y + x^{2} y$ por $M$ .

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Paso 4.3.1

Sustituye $4 y + x^{2} y$ por $M$ .

$\frac{0 - (x^{2} + 4)}{4 y + x^{2} y}$

Paso 4.3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{0 - x^{2} - 1 \cdot 4}{4 y + x^{2} y}$

Paso 4.3.2.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\frac{0 - x^{2} - 4}{4 y + x^{2} y}$

Paso 4.3.2.3

Resta $- (- x^{2} - 4)$ de $0$ .

$\frac{- x^{2} - 4}{4 y + x^{2} y}$

Paso 4.3.3

Factoriza $y$ de $4 y + x^{2} y$ .

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Paso 4.3.3.1

Factoriza $y$ de $4 y$ .

$\frac{- x^{2} - 4}{y \cdot 4 + x^{2} y}$

Paso 4.3.3.2

Factoriza $y$ de $x^{2} y$ .

$\frac{- x^{2} - 4}{y \cdot 4 + y x^{2}}$

Paso 4.3.3.3

Factoriza $y$ de $y \cdot 4 + y x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} - 4}{y (4 + x^{2})}$

Paso 4.3.4

Cancela el factor común de $- x^{2} - 4$ y $4 + x^{2}$ .

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Paso 4.3.4.1

Factoriza $- 1$ de $- x^{2}$ .

$\frac{- (x^{2}) - 4}{y (4 + x^{2})}$

Paso 4.3.4.2

Reescribe $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$\frac{- (x^{2}) - 1 (4)}{y (4 + x^{2})}$

Paso 4.3.4.3

Factoriza $- 1$ de $- (x^{2}) - 1 (4)$ .

$\frac{- (x^{2} + 4)}{y (4 + x^{2})}$

Paso 4.3.4.4

Reescribe $- (x^{2} + 4)$ como $- 1 (x^{2} + 4)$ .

$\frac{- 1 (x^{2} + 4)}{y (4 + x^{2})}$

Paso 4.3.4.5

Reordena los términos.

$\frac{- 1 (x^{2} + 4)}{y (x^{2} + 4)}$

Paso 4.3.4.6

Cancela el factor común.

$\frac{- 1 (x^{2} + 4)}{y (x^{2} + 4)}$

Paso 4.3.4.7

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1}{y}$

Paso 4.3.5

Sustituye $4 y + x^{2} y$ por $M$ .

$- \frac{1}{y}$

Paso 4.4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{y} d y}$

Paso 5

Evalúa la integral $e^{\int - \frac{1}{y} d y}$ .

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Paso 5.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{y} d y}$

Paso 5.2

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| y |) + C)}$

Paso 5.3

Simplifica.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| y |)} + C$

Paso 5.4

Simplifica cada término.

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Paso 5.4.1

Simplifica $- \ln (| y |)$ al mover $- 1$ dentro del algoritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 1})} + C$

Paso 5.4.2

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 1} + C$

Paso 5.4.3

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| y |} + C$

Paso 6

Multiplica ambos lados de $(4 y + x^{2} y) d x + (y - 1) d y = 0$ por el factor integrador $\frac{1}{y}$ .

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Paso 6.1

Multiplica $4 y + x^{2} y$ por $\frac{1}{y}$ .

$(4 y + x^{2} y) \frac{1}{y} d x + (y - 1) d y = 0$

Paso 6.2

Multiplica $4 y + x^{2} y$ por $\frac{1}{y}$ .

$\frac{4 y + x^{2} y}{y} d x + (y - 1) d y = 0$

Paso 6.3

Factoriza $y$ de $4 y + x^{2} y$ .

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Paso 6.3.1

Factoriza $y$ de $4 y$ .

$\frac{y \cdot 4 + x^{2} y}{y} d x + (y - 1) d y = 0$

Paso 6.3.2

Factoriza $y$ de $x^{2} y$ .

$\frac{y \cdot 4 + y x^{2}}{y} d x + (y - 1) d y = 0$

Paso 6.3.3

Factoriza $y$ de $y \cdot 4 + y x^{2}$ .

$\frac{y (4 + x^{2})}{y} d x + (y - 1) d y = 0$

Paso 6.4

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{y (4 + x^{2})}{y} d x + (y - 1) d y = 0$

Paso 6.4.2

Divide $4 + x^{2}$ por $1$ .

$(4 + x^{2}) d x + (y - 1) d y = 0$

Paso 6.5

Multiplica $y - 1$ por $\frac{1}{y}$ .

$(4 + x^{2}) d x + (y - 1) \frac{1}{y} d y = 0$

Paso 6.6

Multiplica $y - 1$ por $\frac{1}{y}$ .

$(4 + x^{2}) d x + \frac{y - 1}{y} d y = 0$

Paso 7

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 4 + x^{2} d x$

Paso 8

Integra $M (x, y) = 4 + x^{2}$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 8.1

Divide la única integral en varias integrales.

$f (x, y) = \int 4 d x + \int x^{2} d x$

Paso 8.2

Aplica la regla de la constante.

$f (x, y) = 4 x + C + \int x^{2} d x$

Paso 8.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = 4 x + C + \frac{1}{3} x^{3} + C$

Paso 8.4

Simplifica.

$f (x, y) = 4 x + \frac{1}{3} x^{3} + C$

Paso 9

Como la integral de $g (y)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = 4 x + \frac{1}{3} x^{3} + g (y)$

Paso 10

Establece $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{y - 1}{y}$

Paso 11

Obtén $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Paso 11.1

Diferencia $f$ con respecto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [4 x + \frac{1}{3} x^{3} + g (y)] = \frac{y - 1}{y}$

Paso 11.2

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x + \frac{1}{3} x^{3} + g (y)$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [4 x] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [4 x] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{y - 1}{y}$

Paso 11.3

Como $4 x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $y$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{y - 1}{y}$

Paso 11.4

Como $\frac{1}{3} x^{3}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $\frac{1}{3} x^{3}$ con respecto a $y$ es $0$ .

$0 + 0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{y - 1}{y}$

Paso 11.5

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (y)$ es $\frac{d g}{d y}$ .

$0 + 0 + \frac{d g}{d y} = \frac{y - 1}{y}$

Paso 11.6

Combina los términos.

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Paso 11.6.1

Suma $0$ y $0$ .

$0 + \frac{d g}{d y} = \frac{y - 1}{y}$

Paso 11.6.2

Suma $0$ y $\frac{d g}{d y}$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{y - 1}{y}$

Paso 12

Obtén la antiderivada de $\frac{y - 1}{y}$ y obtén $g (y)$ .

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Paso 12.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d y} = \frac{y - 1}{y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \frac{y - 1}{y} d y$

Paso 12.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int \frac{y - 1}{y} d y$

Paso 12.3

Divide la fracción en varias fracciones.

$g (y) = \int \frac{y}{y} + \frac{- 1}{y} d y$

Paso 12.4

Divide la única integral en varias integrales.

$g (y) = \int \frac{y}{y} d y + \int \frac{- 1}{y} d y$

Paso 12.5

Simplifica.

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Paso 12.5.1

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 12.5.1.1

Cancela el factor común.

$g (y) = \int \frac{y}{y} d y + \int \frac{- 1}{y} d y$

Paso 12.5.1.2

Reescribe la expresión.

$g (y) = \int d y + \int \frac{- 1}{y} d y$

Paso 12.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$g (y) = \int d y + \int - \frac{1}{y} d y$

Paso 12.6

Aplica la regla de la constante.

$g (y) = y + C + \int - \frac{1}{y} d y$

Paso 12.7

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$g (y) = y + C - \int \frac{1}{y} d y$

Paso 12.8

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$g (y) = y + C - (\ln (| y |) + C)$

Paso 12.9

Simplifica.

$g (y) = y - \ln (| y |) + C$

Paso 13

Sustituye por $g (y)$ en $f (x, y) = 4 x + \frac{1}{3} x^{3} + g (y)$ .

$f (x, y) = 4 x + \frac{1}{3} x^{3} + y - \ln (| y |) + C$

Paso 14

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$f (x, y) = 4 x + \frac{x^{3}}{3} + y - \ln (| y |) + C$