Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d t} = {(\frac{e^{t}}{y})}^{2}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Factoriza.

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Paso 1.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{e^{t}}{y}$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{{(e^{t})}^{2}}{y^{2}}$

Paso 1.1.2

Multiplica los exponentes en ${(e^{t})}^{2}$ .

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Paso 1.1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{e^{t \cdot 2}}{y^{2}}$

Paso 1.1.2.2

Mueve $2$ a la izquierda de $t$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{e^{2 t}}{y^{2}}$

Paso 1.2

Multiplica ambos lados por $y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d t} = y^{2} \frac{e^{2 t}}{y^{2}}$

Paso 1.3

Cancela el factor común de $y^{2}$ .

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Paso 1.3.1

Cancela el factor común.

$y^{2} \frac{d y}{d t} = y^{2} \frac{e^{2 t}}{y^{2}}$

Paso 1.3.2

Reescribe la expresión.

$y^{2} \frac{d y}{d t} = e^{2 t}$

Paso 1.4

Reescribe la ecuación.

$y^{2} d y = e^{2 t} d t$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int y^{2} d y = \int e^{2 t} d t$

Paso 2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int e^{2 t} d t$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Sea $u = 2 t$ . Entonces $d u = 2 d t$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d t$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.3.1.1

Deja $u = 2 t$ . Obtén $\frac{d u}{d t}$ .

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Paso 2.3.1.1.1

Diferencia $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Paso 2.3.1.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $2 t$ con respecto a $t$ es $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Paso 2.3.1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 2.3.1.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 2.3.1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

Paso 2.3.2

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{e^{u}}{2} d u$

Paso 2.3.3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{2} \int e^{u} d u$

Paso 2.3.4

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u} + C_{2})$

Paso 2.3.5

Simplifica.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{2} e^{u} + C_{2}$

Paso 2.3.6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 t$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{2} e^{2 t} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = \frac{1}{2} e^{2 t} + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (\frac{1}{2} e^{2 t} + K)$

Paso 3.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1.1

Simplifica $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{2} e^{2 t} + K)$

Paso 3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{2} e^{2 t} + K)$

Paso 3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y^{3} = 3 (\frac{1}{2} e^{2 t} + K)$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica $3 (\frac{1}{2} e^{2 t} + K)$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $e^{2 t}$ .

$y^{3} = 3 (\frac{e^{2 t}}{2} + K)$

Paso 3.2.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{3} = 3 \frac{e^{2 t}}{2} + 3 K$

Paso 3.2.2.1.3

Combina $3$ y $\frac{e^{2 t}}{2}$ .

$y^{3} = \frac{3 e^{2 t}}{2} + 3 K$

Paso 3.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \sqrt[3]{\frac{3 e^{2 t}}{2} + 3 K}$

Paso 3.4

Simplifica $\sqrt[3]{\frac{3 e^{2 t}}{2} + 3 K}$ .

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Paso 3.4.1

Factoriza $3$ de $\frac{3 e^{2 t}}{2} + 3 K$ .

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Paso 3.4.1.1

Factoriza $3$ de $\frac{3 e^{2 t}}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{e^{2 t}}{2} + 3 K}$

Paso 3.4.1.2

Factoriza $3$ de $3 K$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{e^{2 t}}{2} + 3 K}$

Paso 3.4.1.3

Factoriza $3$ de $3 \frac{e^{2 t}}{2} + 3 K$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{e^{2 t}}{2} + K)}$

Paso 3.4.2

Para escribir $K$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{e^{2 t}}{2} + K \cdot \frac{2}{2})}$

Paso 3.4.3

Simplifica los términos.

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Paso 3.4.3.1

Combina $K$ y $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{e^{2 t}}{2} + \frac{K \cdot 2}{2})}$

Paso 3.4.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \sqrt[3]{3 \frac{e^{2 t} + K \cdot 2}{2}}$

Paso 3.4.4

Mueve $2$ a la izquierda de $K$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{e^{2 t} + 2 K}{2}}$

Paso 3.4.5

Combina $3$ y $\frac{e^{2 t} + 2 K}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{3 (e^{2 t} + 2 K)}{2}}$

Paso 3.4.6

Reescribe $\sqrt[3]{\frac{3 (e^{2 t} + 2 K)}{2}}$ como $\frac{\sqrt[3]{3 (e^{2 t} + 2 K)}}{\sqrt[3]{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{2 t} + 2 K)}}{\sqrt[3]{2}}$

Paso 3.4.7

Multiplica $\frac{\sqrt[3]{3 (e^{2 t} + 2 K)}}{\sqrt[3]{2}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{2 t} + 2 K)}}{\sqrt[3]{2}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Paso 3.4.8

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 3.4.8.1

Multiplica $\frac{\sqrt[3]{3 (e^{2 t} + 2 K)}}{\sqrt[3]{2}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{2 t} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Paso 3.4.8.2

Eleva $\sqrt[3]{2}$ a la potencia de $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{2 t} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Paso 3.4.8.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{2 t} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1 + 2}}$

Paso 3.4.8.4

Suma $1$ y $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{2 t} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{3}}$

Paso 3.4.8.5

Reescribe ${\sqrt[3]{2}}^{3}$ como $2$ .

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Paso 3.4.8.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{2}$ como $2^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{2 t} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{(2^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Paso 3.4.8.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{2 t} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Paso 3.4.8.5.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{2 t} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

Paso 3.4.8.5.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.4.8.5.4.1

Cancela el factor común.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{2 t} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

Paso 3.4.8.5.4.2

Reescribe la expresión.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{2 t} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{1}}$

Paso 3.4.8.5.5

Evalúa el exponente.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{2 t} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2}$

Paso 3.4.9

Simplifica el numerador.

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Paso 3.4.9.1

Reescribe ${\sqrt[3]{2}}^{2}$ como $\sqrt[3]{2^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{2 t} + 2 K)} \sqrt[3]{2^{2}}}{2}$

Paso 3.4.9.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{2 t} + 2 K)} \sqrt[3]{4}}{2}$

Paso 3.4.10

Simplifica el numerador.

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Paso 3.4.10.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{2 t} + 2 K) \cdot 4}}{2}$

Paso 3.4.10.2

Multiplica $4$ por $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{12 (e^{2 t} + 2 K)}}{2}$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = \frac{\sqrt[3]{12 (e^{2 t} + K)}}{2}$