Cálculo Ejemplos

$x \frac{d y}{d x} + 5 y = \frac{\ln (x)}{x}$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial como $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Paso 1.1

Divide cada término en $x \frac{d y}{d x} + 5 y = \frac{\ln (x)}{x}$ por $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{5 y}{x} = \frac{\frac{\ln (x)}{x}}{x}$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{5 y}{x} = \frac{\frac{\ln (x)}{x}}{x}$

Paso 1.2.2

Divide $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{5 y}{x} = \frac{\frac{\ln (x)}{x}}{x}$

Paso 1.3

Factoriza $y$ de $\frac{5 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{5}{x} = \frac{\frac{\ln (x)}{x}}{x}$

Paso 1.4

Reordena $y$ y $\frac{5}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{5}{x} y = \frac{\frac{\ln (x)}{x}}{x}$

Paso 2

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = \frac{5}{x}$ .

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Paso 2.1

Establece la integración.

$e^{\int \frac{5}{x} d x}$

Paso 2.2

Integra $\frac{5}{x}$ .

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Paso 2.2.1

Dado que $5$ es constante con respecto a $x$ , mueve $5$ fuera de la integral.

$e^{5 \int \frac{1}{x} d x}$

Paso 2.2.2

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$e^{5 (\ln (| x |) + C)}$

Paso 2.2.3

Simplifica.

$e^{5 \ln (| x |) + C}$

Paso 2.3

Elimina la constante de integración.

$e^{5 \ln (x)}$

Paso 2.4

Usa la regla de la potencia del logaritmo.

$e^{\ln (x^{5})}$

Paso 2.5

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$x^{5}$

Paso 3

Multiplica cada término por el factor integrador $x^{5}$ .

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Paso 3.1

Multiplica cada término por $x^{5}$ .

$x^{5} \frac{d y}{d x} + x^{5} (\frac{5}{x} y) = x^{5} \frac{\frac{\ln (x)}{x}}{x}$

Paso 3.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1

Combina $\frac{5}{x}$ y $y$ .

$x^{5} \frac{d y}{d x} + x^{5} \frac{5 y}{x} = x^{5} \frac{\frac{\ln (x)}{x}}{x}$

Paso 3.2.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.2.2.1

Factoriza $x$ de $x^{5}$ .

$x^{5} \frac{d y}{d x} + x \cdot x^{4} \frac{5 y}{x} = x^{5} \frac{\frac{\ln (x)}{x}}{x}$

Paso 3.2.2.2

Cancela el factor común.

$x^{5} \frac{d y}{d x} + x \cdot x^{4} \frac{5 y}{x} = x^{5} \frac{\frac{\ln (x)}{x}}{x}$

Paso 3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$x^{5} \frac{d y}{d x} + x^{4} (5 y) = x^{5} \frac{\frac{\ln (x)}{x}}{x}$

Paso 3.2.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x^{5} \frac{d y}{d x} + 5 x^{4} y = x^{5} \frac{\frac{\ln (x)}{x}}{x}$

Paso 3.3

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.3.1

Factoriza $x$ de $x^{5}$ .

$x^{5} \frac{d y}{d x} + 5 x^{4} y = x \cdot x^{4} \frac{\frac{\ln (x)}{x}}{x}$

Paso 3.3.2

Cancela el factor común.

$x^{5} \frac{d y}{d x} + 5 x^{4} y = x \cdot x^{4} \frac{\frac{\ln (x)}{x}}{x}$

Paso 3.3.3

Reescribe la expresión.

$x^{5} \frac{d y}{d x} + 5 x^{4} y = x^{4} \frac{\ln (x)}{x}$

Paso 3.4

Combina $x^{4}$ y $\frac{\ln (x)}{x}$ .

$x^{5} \frac{d y}{d x} + 5 x^{4} y = \frac{x^{4} \ln (x)}{x}$

Paso 3.5

Cancela el factor común de $x^{4}$ y $x$ .

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Paso 3.5.1

Factoriza $x$ de $x^{4} \ln (x)$ .

$x^{5} \frac{d y}{d x} + 5 x^{4} y = \frac{x (x^{3} \ln (x))}{x}$

Paso 3.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.5.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x^{5} \frac{d y}{d x} + 5 x^{4} y = \frac{x (x^{3} \ln (x))}{x^{1}}$

Paso 3.5.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$x^{5} \frac{d y}{d x} + 5 x^{4} y = \frac{x (x^{3} \ln (x))}{x \cdot 1}$

Paso 3.5.2.3

Cancela el factor común.

$x^{5} \frac{d y}{d x} + 5 x^{4} y = \frac{x (x^{3} \ln (x))}{x \cdot 1}$

Paso 3.5.2.4

Reescribe la expresión.

$x^{5} \frac{d y}{d x} + 5 x^{4} y = \frac{x^{3} \ln (x)}{1}$

Paso 3.5.2.5

Divide $x^{3} \ln (x)$ por $1$ .

$x^{5} \frac{d y}{d x} + 5 x^{4} y = x^{3} \ln (x)$

Paso 4

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [x^{5} y] = x^{3} \ln (x)$

Paso 5

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [x^{5} y] d x = \int x^{3} \ln (x) d x$

Paso 6

Integra el lado izquierdo.

$x^{5} y = \int x^{3} \ln (x) d x$

Paso 7

Integra el lado derecho.

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Paso 7.1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \ln (x)$ y $d v = x^{3}$ .

$x^{5} y = \ln (x) (\frac{1}{4} x^{4}) - \int \frac{1}{4} x^{4} \frac{1}{x} d x$

Paso 7.2

Simplifica.

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Paso 7.2.1

Combina $\frac{1}{4}$ y $x^{4}$ .

$x^{5} y = \ln (x) \frac{x^{4}}{4} - \int \frac{1}{4} x^{4} \frac{1}{x} d x$

Paso 7.2.2

Combina $\ln (x)$ y $\frac{x^{4}}{4}$ .

$x^{5} y = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - \int \frac{1}{4} x^{4} \frac{1}{x} d x$

Paso 7.3

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$x^{5} y = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int x^{4} \frac{1}{x} d x)$

Paso 7.4

Simplifica.

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Paso 7.4.1

Combina $x^{4}$ y $\frac{1}{x}$ .

$x^{5} y = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x^{4}}{x} d x)$

Paso 7.4.2

Cancela el factor común de $x^{4}$ y $x$ .

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Paso 7.4.2.1

Factoriza $x$ de $x^{4}$ .

$x^{5} y = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x \cdot x^{3}}{x} d x)$

Paso 7.4.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.4.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x^{5} y = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x \cdot x^{3}}{x^{1}} d x)$

Paso 7.4.2.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$x^{5} y = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} d x)$

Paso 7.4.2.2.3

Cancela el factor común.

$x^{5} y = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} d x)$

Paso 7.4.2.2.4

Reescribe la expresión.

$x^{5} y = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x^{3}}{1} d x)$

Paso 7.4.2.2.5

Divide $x^{3}$ por $1$ .

$x^{5} y = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int x^{3} d x)$

$x^{5} y = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - \frac{1}{4} \int x^{3} d x$

Paso 7.5

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$x^{5} y = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - \frac{1}{4} (\frac{1}{4} x^{4} + C)$

Paso 7.6

Simplifica la respuesta.

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Paso 7.6.1

Reescribe $\frac{\ln (x) x^{4}}{4} - \frac{1}{4} (\frac{1}{4} x^{4} + C)$ como $\frac{1}{4} \ln (x) x^{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} x^{4} + C$ .

$x^{5} y = \frac{1}{4} \ln (x) x^{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} x^{4} + C$

Paso 7.6.2

Simplifica.

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Paso 7.6.2.1

Combina $\frac{1}{4}$ y $\ln (x)$ .

$x^{5} y = \frac{\ln (x)}{4} x^{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} x^{4} + C$

Paso 7.6.2.2

Combina $\frac{\ln (x)}{4}$ y $x^{4}$ .

$x^{5} y = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} x^{4} + C$

Paso 7.6.2.3

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $\frac{1}{4}$ .

$x^{5} y = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - \frac{1}{4 \cdot 4} x^{4} + C$

Paso 7.6.2.4

Multiplica $4$ por $4$ .

$x^{5} y = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - \frac{1}{16} x^{4} + C$

$x^{5} y = \frac{1}{4} \ln (x) x^{4} - \frac{1}{16} x^{4} + C$

Paso 8

Resuelve $y$

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Paso 8.1

Simplifica.

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Paso 8.1.1

Combina $x^{4}$ y $\frac{1}{16}$ .

$x^{5} y = \frac{1}{4} \cdot (\ln (x) x^{4}) - \frac{x^{4}}{16} + C$

Paso 8.1.2

Elimina los paréntesis.

$x^{5} y = \frac{1}{4} \cdot \ln (x) x^{4} - \frac{x^{4}}{16} + C$

Paso 8.2

Divide cada término en $x^{5} y = \frac{1}{4} \cdot (\ln (x) x^{4}) - \frac{x^{4}}{16} + C$ por $x^{5}$ y simplifica.

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Paso 8.2.1

Divide cada término en $x^{5} y = \frac{1}{4} \cdot (\ln (x) x^{4}) - \frac{x^{4}}{16} + C$ por $x^{5}$ .

$\frac{x^{5} y}{x^{5}} = \frac{\frac{1}{4} \cdot (\ln (x) x^{4})}{x^{5}} + \frac{- \frac{x^{4}}{16}}{x^{5}} + \frac{C}{x^{5}}$

Paso 8.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.2.1

Cancela el factor común de $x^{5}$ .

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Paso 8.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x^{5} y}{x^{5}} = \frac{\frac{1}{4} \cdot (\ln (x) x^{4})}{x^{5}} + \frac{- \frac{x^{4}}{16}}{x^{5}} + \frac{C}{x^{5}}$

Paso 8.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{4} \cdot (\ln (x) x^{4})}{x^{5}} + \frac{- \frac{x^{4}}{16}}{x^{5}} + \frac{C}{x^{5}}$

Paso 8.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.2.3.1.1

Cancela el factor común de $x^{4}$ y $x^{5}$ .

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Paso 8.2.3.1.1.1

Factoriza $x^{4}$ de $\frac{1}{4} \cdot (\ln (x) x^{4})$ .

$y = \frac{x^{4} (\frac{1}{4} \cdot (\ln (x)))}{x^{5}} + \frac{- \frac{x^{4}}{16}}{x^{5}} + \frac{C}{x^{5}}$

Paso 8.2.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.2.3.1.1.2.1

Factoriza $x^{4}$ de $x^{5}$ .

$y = \frac{x^{4} (\frac{1}{4} \cdot (\ln (x)))}{x^{4} x} + \frac{- \frac{x^{4}}{16}}{x^{5}} + \frac{C}{x^{5}}$

Paso 8.2.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{x^{4} (\frac{1}{4} \cdot (\ln (x)))}{x^{4} x} + \frac{- \frac{x^{4}}{16}}{x^{5}} + \frac{C}{x^{5}}$

Paso 8.2.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{\frac{1}{4} \cdot (\ln (x))}{x} + \frac{- \frac{x^{4}}{16}}{x^{5}} + \frac{C}{x^{5}}$

Paso 8.2.3.1.2

Simplifica $\frac{1}{4} \ln (x)$ al mover $\frac{1}{4}$ dentro del algoritmo.

$y = \frac{\ln (x^{\frac{1}{4}})}{x} + \frac{- \frac{x^{4}}{16}}{x^{5}} + \frac{C}{x^{5}}$

Paso 8.2.3.1.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$y = \frac{\ln (x^{\frac{1}{4}})}{x} - \frac{x^{4}}{16} \cdot \frac{1}{x^{5}} + \frac{C}{x^{5}}$

Paso 8.2.3.1.4

Cancela el factor común de $x^{4}$ .

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Paso 8.2.3.1.4.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{x^{4}}{16}$ al numerador.

$y = \frac{\ln (x^{\frac{1}{4}})}{x} + \frac{- x^{4}}{16} \cdot \frac{1}{x^{5}} + \frac{C}{x^{5}}$

Paso 8.2.3.1.4.2

Factoriza $x^{4}$ de $- x^{4}$ .

$y = \frac{\ln (x^{\frac{1}{4}})}{x} + \frac{x^{4} \cdot - 1}{16} \cdot \frac{1}{x^{5}} + \frac{C}{x^{5}}$

Paso 8.2.3.1.4.3

Factoriza $x^{4}$ de $x^{5}$ .

$y = \frac{\ln (x^{\frac{1}{4}})}{x} + \frac{x^{4} \cdot - 1}{16} \cdot \frac{1}{x^{4} x} + \frac{C}{x^{5}}$

Paso 8.2.3.1.4.4

Cancela el factor común.

$y = \frac{\ln (x^{\frac{1}{4}})}{x} + \frac{x^{4} \cdot - 1}{16} \cdot \frac{1}{x^{4} x} + \frac{C}{x^{5}}$

Paso 8.2.3.1.4.5

Reescribe la expresión.

$y = \frac{\ln (x^{\frac{1}{4}})}{x} + \frac{- 1}{16} \cdot \frac{1}{x} + \frac{C}{x^{5}}$

Paso 8.2.3.1.5

Multiplica $\frac{- 1}{16}$ por $\frac{1}{x}$ .

$y = \frac{\ln (x^{\frac{1}{4}})}{x} + \frac{- 1}{16 x} + \frac{C}{x^{5}}$

Paso 8.2.3.1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = \frac{\ln (x^{\frac{1}{4}})}{x} - \frac{1}{16 x} + \frac{C}{x^{5}}$