Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x - 1}{y^{2}}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{2 x - 1}{y^{2}}$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $y^{2}$ .

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{2 x - 1}{y^{2}}$

Paso 1.2.2

Reescribe la expresión.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = 2 x - 1$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$y^{2} d y = (2 x - 1) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int y^{2} d y = \int 2 x - 1 d x$

Paso 2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int 2 x - 1 d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int 2 x d x + \int - 1 d x$

Paso 2.3.2

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = 2 \int x d x + \int - 1 d x$

Paso 2.3.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int - 1 d x$

Paso 2.3.4

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) - x + C_{3}$

Paso 2.3.5

Simplifica.

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Paso 2.3.5.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - x + C_{3}$

Paso 2.3.5.2

Simplifica.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = x^{2} - x + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = x^{2} - x + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (x^{2} - x + K)$

Paso 3.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1.1

Simplifica $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (x^{2} - x + K)$

Paso 3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (x^{2} - x + K)$

Paso 3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y^{3} = 3 (x^{2} - x + K)$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica $3 (x^{2} - x + K)$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{3} = 3 x^{2} + 3 (- x) + 3 K$

Paso 3.2.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$y^{3} = 3 x^{2} - 3 x + 3 K$

Paso 3.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \sqrt[3]{3 x^{2} - 3 x + 3 K}$

Paso 3.4

Factoriza $3$ de $3 x^{2} - 3 x + 3 K$ .

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Paso 3.4.1

Factoriza $3$ de $3 x^{2}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (x^{2}) - 3 x + 3 K}$

Paso 3.4.2

Factoriza $3$ de $- 3 x$ .

$y = \sqrt[3]{3 (x^{2}) + 3 (- x) + 3 K}$

Paso 3.4.3

Factoriza $3$ de $3 (x^{2}) + 3 (- x)$ .

$y = \sqrt[3]{3 (x^{2} - x) + 3 K}$

Paso 3.4.4

Factoriza $3$ de $3 (x^{2} - x) + 3 K$ .

$y = \sqrt[3]{3 (x^{2} - x + K)}$