Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{15}{{(3 x + 1)}^{2} e^{2 y + 6}}$

Paso 1

Separa las variables.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Reagrupa los factores.

$\frac{d y}{d x} = \frac{15}{{(3 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{1}{e^{2 y + 6}}$

Paso 1.2

Multiplica ambos lados por $e^{2 y + 6}$ .

$e^{2 y + 6} \frac{d y}{d x} = e^{2 y + 6} (\frac{15}{{(3 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{1}{e^{2 y + 6}})$

Paso 1.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1

Combinar.

$e^{2 y + 6} \frac{d y}{d x} = e^{2 y + 6} \frac{15 \cdot 1}{{(3 x + 1)}^{2} e^{2 y + 6}}$

Paso 1.3.2

Cancela el factor común de $e^{2 y + 6}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.2.1

Factoriza $e^{2 y + 6}$ de ${(3 x + 1)}^{2} e^{2 y + 6}$ .

$e^{2 y + 6} \frac{d y}{d x} = e^{2 y + 6} \frac{15 \cdot 1}{e^{2 y + 6} {(3 x + 1)}^{2}}$

Paso 1.3.2.2

Cancela el factor común.

$e^{2 y + 6} \frac{d y}{d x} = e^{2 y + 6} \frac{15 \cdot 1}{e^{2 y + 6} {(3 x + 1)}^{2}}$

Paso 1.3.2.3

Reescribe la expresión.

$e^{2 y + 6} \frac{d y}{d x} = \frac{15 \cdot 1}{{(3 x + 1)}^{2}}$

Paso 1.3.3

Multiplica $15$ por $1$ .

$e^{2 y + 6} \frac{d y}{d x} = \frac{15}{{(3 x + 1)}^{2}}$

Paso 1.4

Reescribe la ecuación.

$e^{2 y + 6} d y = \frac{15}{{(3 x + 1)}^{2}} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int e^{2 y + 6} d y = \int \frac{15}{{(3 x + 1)}^{2}} d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Sea $u_{1} = 2 y + 6$ . Entonces $d u_{1} = 2 d y$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{1} = d y$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1.1

Deja $u_{1} = 2 y + 6$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1.1.1

Diferencia $2 y + 6$ .

$\frac{d}{d y} [2 y + 6]$

Paso 2.2.1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 y + 6$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [6]$ .

$\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [6]$

Paso 2.2.1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1.1.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $2 y$ con respecto a $y$ es $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [6]$

Paso 2.2.1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [6]$

Paso 2.2.1.1.3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d y} [6]$

Paso 2.2.1.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1.1.4.1

Como $6$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $6$ con respecto a $y$ es $0$ .

$2 + 0$

Paso 2.2.1.1.4.2

Suma $2$ y $0$ .

$2$

Paso 2.2.1.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\int e^{u_{1}} \frac{1}{2} d u_{1} = \int \frac{15}{{(3 x + 1)}^{2}} d x$

Paso 2.2.2

Combina $e^{u_{1}}$ y $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1} = \int \frac{15}{{(3 x + 1)}^{2}} d x$

Paso 2.2.3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{15}{{(3 x + 1)}^{2}} d x$

Paso 2.2.4

La integral de $e^{u_{1}}$ con respecto a $u_{1}$ es $e^{u_{1}}$ .

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{1}) = \int \frac{15}{{(3 x + 1)}^{2}} d x$

Paso 2.2.5

Simplifica.

$\frac{1}{2} e^{u_{1}} + C_{1} = \int \frac{15}{{(3 x + 1)}^{2}} d x$

Paso 2.2.6

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $2 y + 6$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y + 6} + C_{1} = \int \frac{15}{{(3 x + 1)}^{2}} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Dado que $15$ es constante con respecto a $x$ , mueve $15$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} e^{2 y + 6} + C_{1} = 15 \int \frac{1}{{(3 x + 1)}^{2}} d x$

Paso 2.3.2

Sea $u_{2} = 3 x + 1$ . Entonces $d u_{2} = 3 d x$ , de modo que $\frac{1}{3} d u_{2} = d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.2.1

Deja $u_{2} = 3 x + 1$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.2.1.1

Diferencia $3 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [3 x + 1]$

Paso 2.3.2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.3.2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.2.1.3.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.3.2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.3.2.1.3.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.3.2.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.2.1.4.1

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$3 + 0$

Paso 2.3.2.1.4.2

Suma $3$ y $0$ .

$3$

Paso 2.3.2.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y + 6} + C_{1} = 15 \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} \cdot \frac{1}{3} d u_{2}$

Paso 2.3.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.3.1

Multiplica $\frac{1}{{u_{2}}^{2}}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y + 6} + C_{1} = 15 \int \frac{1}{{u_{2}}^{2} \cdot 3} d u_{2}$

Paso 2.3.3.2

Mueve $3$ a la izquierda de ${u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y + 6} + C_{1} = 15 \int \frac{1}{3 {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Paso 2.3.4

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} e^{2 y + 6} + C_{1} = 15 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2})$

Paso 2.3.5

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.5.1

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.5.1.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $15$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y + 6} + C_{1} = \frac{15}{3} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Paso 2.3.5.1.2

Cancela el factor común de $15$ y $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.5.1.2.1

Factoriza $3$ de $15$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y + 6} + C_{1} = \frac{3 \cdot 5}{3} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Paso 2.3.5.1.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.5.1.2.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y + 6} + C_{1} = \frac{3 \cdot 5}{3 (1)} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Paso 2.3.5.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2} e^{2 y + 6} + C_{1} = \frac{3 \cdot 5}{3 \cdot 1} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Paso 2.3.5.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2} e^{2 y + 6} + C_{1} = \frac{5}{1} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Paso 2.3.5.1.2.2.4

Divide $5$ por $1$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y + 6} + C_{1} = 5 \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Paso 2.3.5.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.5.2.1

Mueve ${u_{2}}^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y + 6} + C_{1} = 5 \int {({u_{2}}^{2})}^{- 1} d u_{2}$

Paso 2.3.5.2.2

Multiplica los exponentes en ${({u_{2}}^{2})}^{- 1}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.5.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y + 6} + C_{1} = 5 \int {u_{2}}^{2 \cdot - 1} d u_{2}$

Paso 2.3.5.2.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y + 6} + C_{1} = 5 \int {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

Paso 2.3.6

Según la regla de la potencia, la integral de ${u_{2}}^{- 2}$ con respecto a $u_{2}$ es $- {u_{2}}^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y + 6} + C_{1} = 5 (- {u_{2}}^{- 1} + C_{2})$

Paso 2.3.7

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.7.1

Reescribe $5 (- {u_{2}}^{- 1} + C_{2})$ como $5 (- \frac{1}{u_{2}}) + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y + 6} + C_{1} = 5 (- \frac{1}{u_{2}}) + C_{2}$

Paso 2.3.7.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.7.2.1

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y + 6} + C_{1} = - 5 \frac{1}{u_{2}} + C_{2}$

Paso 2.3.7.2.2

Combina $- 5$ y $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y + 6} + C_{1} = \frac{- 5}{u_{2}} + C_{2}$

Paso 2.3.7.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} e^{2 y + 6} + C_{1} = - \frac{5}{u_{2}} + C_{2}$

Paso 2.3.8

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $3 x + 1$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y + 6} + C_{1} = - \frac{5}{3 x + 1} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y + 6} = - \frac{5}{3 x + 1} + K$

Paso 3

Resuelve $y$

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} e^{2 y + 6}) = 2 (- \frac{5}{3 x + 1} + K)$

Paso 3.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1.1

Simplifica $2 (\frac{1}{2} e^{2 y + 6})$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $e^{2 y + 6}$ .

$2 \frac{e^{2 y + 6}}{2} = 2 (- \frac{5}{3 x + 1} + K)$

Paso 3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{e^{2 y + 6}}{2} = 2 (- \frac{5}{3 x + 1} + K)$

Paso 3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$e^{2 y + 6} = 2 (- \frac{5}{3 x + 1} + K)$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.2.1

Simplifica $2 (- \frac{5}{3 x + 1} + K)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.2.1.1

Para escribir $K$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3 x + 1}{3 x + 1}$ .

$e^{2 y + 6} = 2 (- \frac{5}{3 x + 1} + \frac{K (3 x + 1)}{3 x + 1})$

Paso 3.2.2.1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$e^{2 y + 6} = 2 \frac{- 5 + K (3 x + 1)}{3 x + 1}$

Paso 3.2.2.1.3

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.2.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$e^{2 y + 6} = 2 \frac{- 5 + K (3 x) + K \cdot 1}{3 x + 1}$

Paso 3.2.2.1.3.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{2 y + 6} = 2 \frac{- 5 + 3 K x + K \cdot 1}{3 x + 1}$

Paso 3.2.2.1.3.3

Multiplica $K$ por $1$ .

$e^{2 y + 6} = 2 \frac{- 5 + 3 K x + K}{3 x + 1}$

Paso 3.2.2.1.4

Simplifica los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.2.1.4.1

Combina $2$ y $\frac{- 5 + 3 K x + K}{3 x + 1}$ .

$e^{2 y + 6} = \frac{2 (- 5 + 3 K x + K)}{3 x + 1}$

Paso 3.2.2.1.4.2

Reescribe $- 5$ como $- 1 (5)$ .

$e^{2 y + 6} = \frac{2 (- 1 (5) + 3 K x + K)}{3 x + 1}$

Paso 3.2.2.1.4.3

Factoriza $- 1$ de $3 K x$ .

$e^{2 y + 6} = \frac{2 (- 1 (5) - (- 3 K x) + K)}{3 x + 1}$

Paso 3.2.2.1.4.4

Factoriza $- 1$ de $- 1 (5) - (- 3 K x)$ .

$e^{2 y + 6} = \frac{2 (- 1 (5 - 3 K x) + K)}{3 x + 1}$

Paso 3.2.2.1.4.5

Factoriza $- 1$ de $K$ .

$e^{2 y + 6} = \frac{2 (- 1 (5 - 3 K x) - 1 (- K))}{3 x + 1}$

Paso 3.2.2.1.4.6

Factoriza $- 1$ de $- 1 (5 - 3 K x) - 1 (- K)$ .

$e^{2 y + 6} = \frac{2 (- 1 (5 - 3 K x - K))}{3 x + 1}$

Paso 3.2.2.1.4.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e^{2 y + 6} = - \frac{2 (5 - 3 K x - K)}{3 x + 1}$

Paso 3.3

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{2 y + 6}) = \ln (- \frac{2 (5 - 3 K x - K)}{3 x + 1})$

Paso 3.4

Expande el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.1

Expande $\ln (e^{2 y + 6})$ ; para ello, mueve $2 y + 6$ fuera del logaritmo.

$(2 y + 6) \ln (e) = \ln (- \frac{2 (5 - 3 K x - K)}{3 x + 1})$

Paso 3.4.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$(2 y + 6) \cdot 1 = \ln (- \frac{2 (5 - 3 K x - K)}{3 x + 1})$

Paso 3.4.3

Multiplica $2 y + 6$ por $1$ .

$2 y + 6 = \ln (- \frac{2 (5 - 3 K x - K)}{3 x + 1})$

Paso 3.5

Resta $6$ de ambos lados de la ecuación.

$2 y = \ln (- \frac{2 (5 - 3 K x - K)}{3 x + 1}) - 6$

Paso 3.6

Divide cada término en $2 y = \ln (- \frac{2 (5 - 3 K x - K)}{3 x + 1}) - 6$ por $2$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.6.1

Divide cada término en $2 y = \ln (- \frac{2 (5 - 3 K x - K)}{3 x + 1}) - 6$ por $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (- \frac{2 (5 - 3 K x - K)}{3 x + 1})}{2} + \frac{- 6}{2}$

Paso 3.6.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.6.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.6.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (- \frac{2 (5 - 3 K x - K)}{3 x + 1})}{2} + \frac{- 6}{2}$

Paso 3.6.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\ln (- \frac{2 (5 - 3 K x - K)}{3 x + 1})}{2} + \frac{- 6}{2}$

Paso 3.6.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.6.3.1

Divide $- 6$ por $2$ .

$y = \frac{\ln (- \frac{2 (5 - 3 K x - K)}{3 x + 1})}{2} - 3$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = \frac{\ln (- \frac{2 (5 + K x + K)}{3 x + 1})}{2} - 3$