Cálculo Ejemplos

$t \ln (t) \frac{d r}{d t} + r = 5 t e^{t}$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial como $\frac{d r}{d t} + M (t) r = Q (t)$ .

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Paso 1.1

Divide cada término en $t \ln (t) \frac{d r}{d t} + r = 5 t e^{t}$ por $t \ln (t)$ .

$\frac{t \ln (t) \frac{d r}{d t}}{t \ln (t)} + \frac{r}{t \ln (t)} = \frac{5 t e^{t}}{t \ln (t)}$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $t$ .

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{t \ln (t) \frac{d r}{d t}}{t \ln (t)} + \frac{r}{t \ln (t)} = \frac{5 t e^{t}}{t \ln (t)}$

Paso 1.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\ln (t) \frac{d r}{d t}}{\ln (t)} + \frac{r}{t \ln (t)} = \frac{5 t e^{t}}{t \ln (t)}$

Paso 1.3

Cancela el factor común de $\ln (t)$ .

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Paso 1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{\ln (t) \frac{d r}{d t}}{\ln (t)} + \frac{r}{t \ln (t)} = \frac{5 t e^{t}}{t \ln (t)}$

Paso 1.3.2

Divide $\frac{d r}{d t}$ por $1$ .

$\frac{d r}{d t} + \frac{r}{t \ln (t)} = \frac{5 t e^{t}}{t \ln (t)}$

Paso 1.4

Cancela el factor común de $t$ .

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Paso 1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{d r}{d t} + \frac{r}{t \ln (t)} = \frac{5 t e^{t}}{t \ln (t)}$

Paso 1.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{d r}{d t} + \frac{r}{t \ln (t)} = \frac{5 e^{t}}{\ln (t)}$

Paso 1.5

Factoriza $r$ de $\frac{r}{t \ln (t)}$ .

$\frac{d r}{d t} + r \frac{1}{t \ln (t)} = \frac{5 e^{t}}{\ln (t)}$

Paso 1.6

Reordena $r$ y $\frac{1}{t \ln (t)}$ .

$\frac{d r}{d t} + \frac{1}{t \ln (t)} r = \frac{5 e^{t}}{\ln (t)}$

Paso 2

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (t) d t}$ , donde $P (t) = \frac{1}{t \ln (t)}$ .

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Paso 2.1

Establece la integración.

$e^{\int \frac{1}{t \ln (t)} d t}$

Paso 2.2

Integra $\frac{1}{t \ln (t)}$ .

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Paso 2.2.1

Sea $u = \ln (t)$ . Entonces $d u = \frac{1}{t} d t$ , de modo que $t d u = d t$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.2.1.1

Deja $u = \ln (t)$ . Obtén $\frac{d u}{d t}$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Diferencia $\ln (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\ln (t)]$

Paso 2.2.1.1.2

La derivada de $\ln (t)$ con respecto a $t$ es $\frac{1}{t}$ .

$\frac{1}{t}$

Paso 2.2.1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$e^{\int \frac{1}{u} d u}$

Paso 2.2.2

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$e^{\ln (| u |) + C}$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\ln (t)$ .

$e^{\ln (| \ln (t) |) + C}$

Paso 2.3

Elimina la constante de integración.

$e^{\ln (\ln (t))}$

Paso 2.4

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$\ln (t)$

Paso 3

Multiplica cada término por el factor integrador $\ln (t)$ .

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Paso 3.1

Multiplica cada término por $\ln (t)$ .

$\ln (t) \frac{d r}{d t} + \ln (t) (\frac{1}{t \ln (t)} r) = \ln (t) \frac{5 e^{t}}{\ln (t)}$

Paso 3.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1

Combina $\frac{1}{t \ln (t)}$ y $r$ .

$\ln (t) \frac{d r}{d t} + \ln (t) \frac{r}{t \ln (t)} = \ln (t) \frac{5 e^{t}}{\ln (t)}$

Paso 3.2.2

Cancela el factor común de $\ln (t)$ .

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Paso 3.2.2.1

Factoriza $\ln (t)$ de $t \ln (t)$ .

$\ln (t) \frac{d r}{d t} + \ln (t) \frac{r}{\ln (t) t} = \ln (t) \frac{5 e^{t}}{\ln (t)}$

Paso 3.2.2.2

Cancela el factor común.

$\ln (t) \frac{d r}{d t} + \ln (t) \frac{r}{\ln (t) t} = \ln (t) \frac{5 e^{t}}{\ln (t)}$

Paso 3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\ln (t) \frac{d r}{d t} + \frac{r}{t} = \ln (t) \frac{5 e^{t}}{\ln (t)}$

Paso 3.3

Cancela el factor común de $\ln (t)$ .

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Paso 3.3.1

Cancela el factor común.

$\ln (t) \frac{d r}{d t} + \frac{r}{t} = \ln (t) \frac{5 e^{t}}{\ln (t)}$

Paso 3.3.2

Reescribe la expresión.

$\ln (t) \frac{d r}{d t} + \frac{r}{t} = 5 e^{t}$

Paso 4

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d t} [\ln (t) r] = 5 e^{t}$

Paso 5

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d t} [\ln (t) r] d t = \int 5 e^{t} d t$

Paso 6

Integra el lado izquierdo.

$\ln (t) r = \int 5 e^{t} d t$

Paso 7

Integra el lado derecho.

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Paso 7.1

Dado que $5$ es constante con respecto a $t$ , mueve $5$ fuera de la integral.

$\ln (t) r = 5 \int e^{t} d t$

Paso 7.2

La integral de $e^{t}$ con respecto a $t$ es $e^{t}$ .

$\ln (t) r = 5 (e^{t} + C)$

Paso 7.3

Simplifica.

$\ln (t) r = 5 e^{t} + C$

Paso 8

Divide cada término en $\ln (t) r = 5 e^{t} + C$ por $\ln (t)$ y simplifica.

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Paso 8.1

Divide cada término en $\ln (t) r = 5 e^{t} + C$ por $\ln (t)$ .

$\frac{\ln (t) r}{\ln (t)} = \frac{5 e^{t}}{\ln (t)} + \frac{C}{\ln (t)}$

Paso 8.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.1

Cancela el factor común de $\ln (t)$ .

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Paso 8.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{\ln (t) r}{\ln (t)} = \frac{5 e^{t}}{\ln (t)} + \frac{C}{\ln (t)}$

Paso 8.2.1.2

Divide $r$ por $1$ .

$r = \frac{5 e^{t}}{\ln (t)} + \frac{C}{\ln (t)}$