Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 \sqrt{x}}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y}{2 \sqrt{x}}$

Paso 1.2

Simplifica.

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y}{2 \sqrt{x}}$

Paso 1.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 \sqrt{x}}$

Paso 1.2.2

Multiplica $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ por $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$

Paso 1.2.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 1.2.3.1

Multiplica $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ por $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{2 \sqrt{x} \sqrt{x}}$

Paso 1.2.3.2

Mueve $\sqrt{x}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{2 (\sqrt{x} \sqrt{x})}$

Paso 1.2.3.3

Eleva $\sqrt{x}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{2 ({\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x})}$

Paso 1.2.3.4

Eleva $\sqrt{x}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{2 ({\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1})}$

Paso 1.2.3.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{2 {\sqrt{x}}^{1 + 1}}$

Paso 1.2.3.6

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{2 {\sqrt{x}}^{2}}$

Paso 1.2.3.7

Reescribe ${\sqrt{x}}^{2}$ como $x$ .

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Paso 1.2.3.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{2 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 1.2.3.7.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{2 x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 1.2.3.7.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{2 x^{\frac{2}{2}}}$

Paso 1.2.3.7.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.3.7.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{2 x^{\frac{2}{2}}}$

Paso 1.2.3.7.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{2 x^{1}}$

Paso 1.2.3.7.5

Simplifica.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{2 x}$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{y} d y = \frac{\sqrt{x}}{2 x} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{\sqrt{x}}{2 x} d x$

Paso 2.2

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{\sqrt{x}}{2 x} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Paso 2.3.2

Simplifica la expresión.

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Paso 2.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x} d x$

Paso 2.3.2.2

Simplifica.

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Paso 2.3.2.2.1

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} d x$

Paso 2.3.2.2.2

Multiplica $x$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.3.2.2.2.1

Multiplica $x$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Paso 2.3.2.2.2.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}} d x$

Paso 2.3.2.2.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{1 - \frac{1}{2}}} d x$

Paso 2.3.2.2.2.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d x$

Paso 2.3.2.2.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{\frac{2 - 1}{2}}} d x$

Paso 2.3.2.2.2.4

Resta $1$ de $2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Paso 2.3.2.3

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.3.2.3.1

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Paso 2.3.2.3.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 2.3.2.3.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Paso 2.3.2.3.2.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Paso 2.3.2.3.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Paso 2.3.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} (2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

Paso 2.3.4

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.3.4.1

Reescribe $\frac{1}{2} (2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ como $\frac{1}{2} \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Paso 2.3.4.2

Simplifica.

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Paso 2.3.4.2.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2}{2} x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Paso 2.3.4.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.4.2.2.1

Cancela el factor común.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2}{2} x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Paso 2.3.4.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\ln (| y |) + C_{1} = 1 x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Paso 2.3.4.2.3

Multiplica $x^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\ln (| y |) = x^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (| y |)} = e^{x^{\frac{1}{2}} + C}$

Paso 3.2

Reescribe $\ln (| y |) = x^{\frac{1}{2}} + C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{x^{\frac{1}{2}} + C} = | y |$

Paso 3.3

Resuelve $y$

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Paso 3.3.1

Reescribe la ecuación como $| y | = e^{x^{\frac{1}{2}} + C}$ .

$| y | = e^{x^{\frac{1}{2}} + C}$

Paso 3.3.2

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{x^{\frac{1}{2}} + C}$

Paso 4

Agrupa los términos de la constante.

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Paso 4.1

Reescribe $e^{x^{\frac{1}{2}} + C}$ como $e^{x^{\frac{1}{2}}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{x^{\frac{1}{2}}} e^{C}$

Paso 4.2

Reordena $e^{x^{\frac{1}{2}}}$ y $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.3

Combina constantes con el signo más o menos.

$y = C e^{x^{\frac{1}{2}}}$