Cálculo Ejemplos

$e^{y} d y - (1 + e^{y}) d x = 0$

Paso 1

Suma $(1 + e^{y}) d x$ a ambos lados de la ecuación.

$e^{y} d y = (1 + e^{y}) d x$

Paso 2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{1 + e^{y}}$ .

$\frac{1}{1 + e^{y}} e^{y} d y = \frac{1}{1 + e^{y}} (1 + e^{y}) d x$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Combina $\frac{1}{1 + e^{y}}$ y $e^{y}$ .

$\frac{e^{y}}{1 + e^{y}} d y = \frac{1}{1 + e^{y}} (1 + e^{y}) d x$

Paso 3.2

Cancela el factor común de $1 + e^{y}$ .

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Paso 3.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{y}}{1 + e^{y}} d y = \frac{1}{1 + e^{y}} (1 + e^{y}) d x$

Paso 3.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{e^{y}}{1 + e^{y}} d y = 1 d x$

Paso 4

Integra ambos lados.

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Paso 4.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{e^{y}}{1 + e^{y}} d y = \int d x$

Paso 4.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Sea $u = 1 + e^{y}$ . Entonces $d u = e^{y} d y$ , de modo que $\frac{1}{e^{y}} d u = d y$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 4.2.1.1

Deja $u = 1 + e^{y}$ . Obtén $\frac{d u}{d y}$ .

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Paso 4.2.1.1.1

Diferencia $1 + e^{y}$ .

$\frac{d}{d y} [1 + e^{y}]$

Paso 4.2.1.1.2

Diferencia.

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Paso 4.2.1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + e^{y}$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [e^{y}]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [e^{y}]$

Paso 4.2.1.1.2.2

Como $1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $1$ con respecto a $y$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [e^{y}]$

Paso 4.2.1.1.3

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ es $a^{y} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$0 + e^{y}$

Paso 4.2.1.1.4

Suma $0$ y $e^{y}$ .

$e^{y}$

Paso 4.2.1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int d x$

Paso 4.2.2

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int d x$

Paso 4.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 + e^{y}$ .

$\ln (| 1 + e^{y} |) + C_{1} = \int d x$

Paso 4.3

Aplica la regla de la constante.

$\ln (| 1 + e^{y} |) + C_{1} = x + C_{2}$

Paso 4.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\ln (| 1 + e^{y} |) = x + C$