Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{3}}{3 + y^{3}}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $3 + y^{3}$ .

$(3 + y^{3}) \frac{d y}{d x} = (3 + y^{3}) \frac{x^{3}}{3 + y^{3}}$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $3 + y^{3}$ .

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común.

$(3 + y^{3}) \frac{d y}{d x} = (3 + y^{3}) \frac{x^{3}}{3 + y^{3}}$

Paso 1.2.2

Reescribe la expresión.

$(3 + y^{3}) \frac{d y}{d x} = x^{3}$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$(3 + y^{3}) d y = x^{3} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int 3 + y^{3} d y = \int x^{3} d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Divide la única integral en varias integrales.

$\int 3 d y + \int y^{3} d y = \int x^{3} d x$

Paso 2.2.2

Aplica la regla de la constante.

$3 y + C_{1} + \int y^{3} d y = \int x^{3} d x$

Paso 2.2.3

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{3}$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$3 y + C_{1} + \frac{1}{4} y^{4} + C_{2} = \int x^{3} d x$

Paso 2.2.4

Simplifica.

$3 y + \frac{1}{4} y^{4} + C_{3} = \int x^{3} d x$

Paso 2.2.5

Reordena los términos.

$\frac{1}{4} y^{4} + 3 y + C_{3} = \int x^{3} d x$

Paso 2.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + 3 y + C_{3} = \frac{1}{4} x^{4} + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + 3 y = \frac{1}{4} x^{4} + K$