Cálculo Ejemplos

$2 x y + 6 x + (x^{2} - 4) \frac{d y}{d x} = 0$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Resuelve $\frac{d y}{d x}$

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Paso 1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x y + 6 x + x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 \frac{d y}{d x} = 0$

Paso 1.1.2

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d y}{d x}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.1.2.1

Resta $2 x y$ de ambos lados de la ecuación.

$6 x + x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 \frac{d y}{d x} = - 2 x y$

Paso 1.1.2.2

Resta $6 x$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 \frac{d y}{d x} = - 2 x y - 6 x$

Paso 1.1.3

Factoriza $\frac{d y}{d x}$ de $x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 \frac{d y}{d x}$ .

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Paso 1.1.3.1

Factoriza $\frac{d y}{d x}$ de $x^{2} \frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} x^{2} - 4 \frac{d y}{d x} = - 2 x y - 6 x$

Paso 1.1.3.2

Factoriza $\frac{d y}{d x}$ de $- 4 \frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} \cdot - 4 = - 2 x y - 6 x$

Paso 1.1.3.3

Factoriza $\frac{d y}{d x}$ de $\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} \cdot - 4$ .

$\frac{d y}{d x} (x^{2} - 4) = - 2 x y - 6 x$

Paso 1.1.4

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} (x^{2} - 2^{2}) = - 2 x y - 6 x$

Paso 1.1.5

Factoriza.

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Paso 1.1.5.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$\frac{d y}{d x} ((x + 2) (x - 2)) = - 2 x y - 6 x$

Paso 1.1.5.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$\frac{d y}{d x} (x + 2) (x - 2) = - 2 x y - 6 x$

Paso 1.1.6

Divide cada término en $\frac{d y}{d x} (x + 2) (x - 2) = - 2 x y - 6 x$ por $(x + 2) (x - 2)$ y simplifica.

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Paso 1.1.6.1

Divide cada término en $\frac{d y}{d x} (x + 2) (x - 2) = - 2 x y - 6 x$ por $(x + 2) (x - 2)$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} (x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{- 2 x y}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{- 6 x}{(x + 2) (x - 2)}$

Paso 1.1.6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.6.2.1

Cancela el factor común de $x + 2$ .

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Paso 1.1.6.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{d y}{d x} (x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{- 2 x y}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{- 6 x}{(x + 2) (x - 2)}$

Paso 1.1.6.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{d y}{d x} (x - 2)}{x - 2} = \frac{- 2 x y}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{- 6 x}{(x + 2) (x - 2)}$

Paso 1.1.6.2.2

Cancela el factor común de $x - 2$ .

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Paso 1.1.6.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{d y}{d x} (x - 2)}{x - 2} = \frac{- 2 x y}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{- 6 x}{(x + 2) (x - 2)}$

Paso 1.1.6.2.2.2

Divide $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 2 x y}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{- 6 x}{(x + 2) (x - 2)}$

Paso 1.1.6.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.6.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.6.3.1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{- 6 x}{(x + 2) (x - 2)}$

Paso 1.1.6.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{6 x}{(x + 2) (x - 2)}$

Paso 1.2

Factoriza.

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Paso 1.2.1

Factoriza $- 1$ de $- \frac{2 x y}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{6 x}{(x + 2) (x - 2)}$ .

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Paso 1.2.1.1

Factoriza $- 1$ de $- \frac{2 x y}{(x + 2) (x - 2)}$ .

$\frac{d y}{d x} = - (\frac{2 x y}{(x + 2) (x - 2)}) - \frac{6 x}{(x + 2) (x - 2)}$

Paso 1.2.1.2

Factoriza $- 1$ de $- \frac{6 x}{(x + 2) (x - 2)}$ .

$\frac{d y}{d x} = - (\frac{2 x y}{(x + 2) (x - 2)}) - (\frac{6 x}{(x + 2) (x - 2)})$

Paso 1.2.1.3

Factoriza $- 1$ de $- (\frac{2 x y}{(x + 2) (x - 2)}) - (\frac{6 x}{(x + 2) (x - 2)})$ .

$\frac{d y}{d x} = - (\frac{2 x y}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{6 x}{(x + 2) (x - 2)})$

Paso 1.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y + 6 x}{(x + 2) (x - 2)}$

Paso 1.2.3

Factoriza $2 x$ de $2 x y + 6 x$ .

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Paso 1.2.3.1

Factoriza $2 x$ de $2 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x (y) + 6 x}{(x + 2) (x - 2)}$

Paso 1.2.3.2

Factoriza $2 x$ de $6 x$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x (y) + 2 x (3)}{(x + 2) (x - 2)}$

Paso 1.2.3.3

Factoriza $2 x$ de $2 x (y) + 2 x (3)$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x (y + 3)}{(x + 2) (x - 2)}$

Paso 1.3

Reagrupa los factores.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{(x + 2) (x - 2)} (y + 3)$

Paso 1.4

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{y + 3}$ .

$\frac{1}{y + 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 3} (- \frac{2 x}{(x + 2) (x - 2)} (y + 3))$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{1}{y + 3} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{y + 3} (\frac{2 x}{(x + 2) (x - 2)} (y + 3))$

Paso 1.5.2

Cancela el factor común de $y + 3$ .

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Paso 1.5.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{y + 3}$ al numerador.

$\frac{1}{y + 3} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y + 3} (\frac{2 x}{(x + 2) (x - 2)} (y + 3))$

Paso 1.5.2.2

Factoriza $y + 3$ de $\frac{2 x}{(x + 2) (x - 2)} (y + 3)$ .

$\frac{1}{y + 3} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y + 3} ((y + 3) \frac{2 x}{(x + 2) (x - 2)})$

Paso 1.5.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{1}{y + 3} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y + 3} ((y + 3) \frac{2 x}{(x + 2) (x - 2)})$

Paso 1.5.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y + 3} \frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{(x + 2) (x - 2)}$

Paso 1.6

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{y + 3} d y = - \frac{2 x}{(x + 2) (x - 2)} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{y + 3} d y = \int - \frac{2 x}{(x + 2) (x - 2)} d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Sea $u_{1} = y + 3$ . Entonces $d u_{1} = d y$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 2.2.1.1

Deja $u_{1} = y + 3$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Diferencia $y + 3$ .

$\frac{d}{d y} [y + 3]$

Paso 2.2.1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $y + 3$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3]$

Paso 2.2.1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [3]$

Paso 2.2.1.1.4

Como $3$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $3$ con respecto a $y$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 2.2.1.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 2.2.1.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{2 x}{(x + 2) (x - 2)} d x$

Paso 2.2.2

La integral de $\frac{1}{u_{1}}$ con respecto a $u_{1}$ es $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{2 x}{(x + 2) (x - 2)} d x$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $y + 3$ .

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = \int - \frac{2 x}{(x + 2) (x - 2)} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = - \int \frac{2 x}{(x + 2) (x - 2)} d x$

Paso 2.3.2

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = - (2 \int \frac{x}{(x + 2) (x - 2)} d x)$

Paso 2.3.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = - 2 \int \frac{x}{(x + 2) (x - 2)} d x$

Paso 2.3.4

Sea $u_{2} = (x + 2) (x - 2)$ . Entonces $d u_{2} = 2 x d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 2.3.4.1

Deja $u_{2} = (x + 2) (x - 2)$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 2.3.4.1.1

Diferencia $(x + 2) (x - 2)$ .

$\frac{d}{d x} [(x + 2) (x - 2)]$

Paso 2.3.4.1.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x + 2$ y $g (x) = x - 2$ .

$(x + 2) \frac{d}{d x} [x - 2] + (x - 2) \frac{d}{d x} [x + 2]$

Paso 2.3.4.1.3

Diferencia.

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Paso 2.3.4.1.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$(x + 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x - 2) \frac{d}{d x} [x + 2]$

Paso 2.3.4.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$(x + 2) (1 + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x - 2) \frac{d}{d x} [x + 2]$

Paso 2.3.4.1.3.3

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$(x + 2) (1 + 0) + (x - 2) \frac{d}{d x} [x + 2]$

Paso 2.3.4.1.3.4

Simplifica la expresión.

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Paso 2.3.4.1.3.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$(x + 2) \cdot 1 + (x - 2) \frac{d}{d x} [x + 2]$

Paso 2.3.4.1.3.4.2

Multiplica $x + 2$ por $1$ .

$x + 2 + (x - 2) \frac{d}{d x} [x + 2]$

Paso 2.3.4.1.3.5

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$x + 2 + (x - 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])$

Paso 2.3.4.1.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x + 2 + (x - 2) (1 + \frac{d}{d x} [2])$

Paso 2.3.4.1.3.7

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$x + 2 + (x - 2) (1 + 0)$

Paso 2.3.4.1.3.8

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 2.3.4.1.3.8.1

Suma $1$ y $0$ .

$x + 2 + (x - 2) \cdot 1$

Paso 2.3.4.1.3.8.2

Multiplica $x - 2$ por $1$ .

$x + 2 + x - 2$

Paso 2.3.4.1.3.8.3

Suma $x$ y $x$ .

$2 x + 2 - 2$

Paso 2.3.4.1.3.8.4

Simplifica mediante la resta de números.

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Paso 2.3.4.1.3.8.4.1

Resta $2$ de $2$ .

$2 x + 0$

Paso 2.3.4.1.3.8.4.2

Suma $2 x$ y $0$ .

$2 x$

Paso 2.3.4.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Paso 2.3.5

Simplifica.

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Paso 2.3.5.1

Multiplica $\frac{1}{u_{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Paso 2.3.5.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u_{2}$ .

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Paso 2.3.6

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = - 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Paso 2.3.7

Simplifica.

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Paso 2.3.7.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 2$ .

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = \frac{- 2}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 2.3.7.2

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 2.3.7.2.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 2.3.7.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.7.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 2.3.7.2.2.2

Cancela el factor común.

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 2.3.7.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = \frac{- 1}{1} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 2.3.7.2.2.4

Divide $- 1$ por $1$ .

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 2.3.8

La integral de $\frac{1}{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = - (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Paso 2.3.9

Simplifica.

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = - \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Paso 2.3.10

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $(x + 2) (x - 2)$ .

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = - \ln (| (x + 2) (x - 2) |) + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\ln (| y + 3 |) = - \ln (| (x + 2) (x - 2) |) + C$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\ln (| y + 3 |) + \ln (| (x + 2) (x - 2) |) = C$

Paso 3.2

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| y + 3 | | (x + 2) (x - 2) |) = C$

Paso 3.3

Expande $(x + 2) (x - 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (| y + 3 | | x (x - 2) + 2 (x - 2) |) = C$

Paso 3.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (| y + 3 | | x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (x - 2) |) = C$

Paso 3.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (| y + 3 | | x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2 |) = C$

Paso 3.4

Simplifica los términos.

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Paso 3.4.1

Combina los términos opuestos en $x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2$ .

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Paso 3.4.1.1

Reordena los factores en los términos $x \cdot - 2$ y $2 x$ .

$\ln (| y + 3 | | x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2 |) = C$

Paso 3.4.1.2

Suma $- 2 x$ y $2 x$ .

$\ln (| y + 3 | | x \cdot x + 0 + 2 \cdot - 2 |) = C$

Paso 3.4.1.3

Suma $x \cdot x$ y $0$ .

$\ln (| y + 3 | | x \cdot x + 2 \cdot - 2 |) = C$

Paso 3.4.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.2.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\ln (| y + 3 | | x^{2} + 2 \cdot - 2 |) = C$

Paso 3.4.2.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$\ln (| y + 3 | | x^{2} - 4 |) = C$

Paso 3.5

Para multiplicar valores absolutos, multiplica los términos dentro de cada valor absoluto.

$\ln (| (y + 3) (x^{2} - 4) |) = C$

Paso 3.6

Expande $(y + 3) (x^{2} - 4)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (| y (x^{2} - 4) + 3 (x^{2} - 4) |) = C$

Paso 3.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (| y x^{2} + y \cdot - 4 + 3 (x^{2} - 4) |) = C$

Paso 3.6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (| y x^{2} + y \cdot - 4 + 3 x^{2} + 3 \cdot - 4 |) = C$

Paso 3.7

Simplifica cada término.

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Paso 3.7.1

Mueve $- 4$ a la izquierda de $y$ .

$\ln (| y x^{2} - 4 \cdot y + 3 x^{2} + 3 \cdot - 4 |) = C$

Paso 3.7.2

Multiplica $3$ por $- 4$ .

$\ln (| y x^{2} - 4 y + 3 x^{2} - 12 |) = C$

Paso 3.8

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (| y x^{2} - 4 y + 3 x^{2} - 12 |)} = e^{C}$

Paso 3.9

Reescribe $\ln (| y x^{2} - 4 y + 3 x^{2} - 12 |) = C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = | y x^{2} - 4 y + 3 x^{2} - 12 |$

Paso 3.10

Resuelve $y$

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Paso 3.10.1

Reescribe la ecuación como $| y x^{2} - 4 y + 3 x^{2} - 12 | = e^{C}$ .

$| y x^{2} - 4 y + 3 x^{2} - 12 | = e^{C}$

Paso 3.10.2

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$y x^{2} - 4 y + 3 x^{2} - 12 = \pm e^{C}$

Paso 3.10.3

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.10.3.1

Resta $3 x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$y x^{2} - 4 y - 12 = \pm e^{C} - 3 x^{2}$

Paso 3.10.3.2

Suma $12$ a ambos lados de la ecuación.

$y x^{2} - 4 y = \pm e^{C} - 3 x^{2} + 12$

Paso 3.10.4

Factoriza $y$ de $y x^{2} - 4 y$ .

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Paso 3.10.4.1

Factoriza $y$ de $y x^{2}$ .

$y (x^{2}) - 4 y = \pm e^{C} - 3 x^{2} + 12$

Paso 3.10.4.2

Factoriza $y$ de $- 4 y$ .

$y (x^{2}) + y \cdot - 4 = \pm e^{C} - 3 x^{2} + 12$

Paso 3.10.4.3

Factoriza $y$ de $y (x^{2}) + y \cdot - 4$ .

$y (x^{2} - 4) = \pm e^{C} - 3 x^{2} + 12$

Paso 3.10.5

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y (x^{2} - 2^{2}) = \pm e^{C} - 3 x^{2} + 12$

Paso 3.10.6

Factoriza.

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Paso 3.10.6.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$y ((x + 2) (x - 2)) = \pm e^{C} - 3 x^{2} + 12$

Paso 3.10.6.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$y (x + 2) (x - 2) = \pm e^{C} - 3 x^{2} + 12$

Paso 3.10.7

Divide cada término en $y (x + 2) (x - 2) = \pm e^{C} - 3 x^{2} + 12$ por $(x + 2) (x - 2)$ y simplifica.

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Paso 3.10.7.1

Divide cada término en $y (x + 2) (x - 2) = \pm e^{C} - 3 x^{2} + 12$ por $(x + 2) (x - 2)$ .

$\frac{y (x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{\pm e^{C}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{- 3 x^{2}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{12}{(x + 2) (x - 2)}$

Paso 3.10.7.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.10.7.2.1

Cancela el factor común de $x + 2$ .

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Paso 3.10.7.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y (x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{\pm e^{C}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{- 3 x^{2}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{12}{(x + 2) (x - 2)}$

Paso 3.10.7.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y (x - 2)}{x - 2} = \frac{\pm e^{C}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{- 3 x^{2}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{12}{(x + 2) (x - 2)}$

Paso 3.10.7.2.2

Cancela el factor común de $x - 2$ .

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Paso 3.10.7.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y (x - 2)}{x - 2} = \frac{\pm e^{C}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{- 3 x^{2}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{12}{(x + 2) (x - 2)}$

Paso 3.10.7.2.2.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\pm e^{C}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{- 3 x^{2}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{12}{(x + 2) (x - 2)}$

Paso 3.10.7.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.10.7.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = \frac{\pm e^{C}}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{3 x^{2}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{12}{(x + 2) (x - 2)}$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = \frac{C}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{3 x^{2}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{12}{(x + 2) (x - 2)}$