Cálculo Ejemplos

$x \frac{d y}{d x} + y = \sqrt{x}$

Paso 1

Comprueba si el lado izquierdo de la ecuación es el resultado de la derivada del término $x y$ .

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Paso 1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1$

Paso 1.4

Sustituye $\frac{d y}{d x}$ por $y'$ .

$x \frac{d y}{d x} + y \cdot 1$

Paso 1.5

Reordena $y$ y $1$ .

$x \frac{d y}{d x} + 1 \cdot y$

Paso 1.6

Multiplica $y$ por $1$ .

$x \frac{d y}{d x} + y$

Paso 2

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [x y] = \sqrt{x}$

Paso 3

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int \sqrt{x} d x$

Paso 4

Integra el lado izquierdo.

$x y = \int \sqrt{x} d x$

Paso 5

Integra el lado derecho.

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Paso 5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$x y = \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Paso 5.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$x y = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 6

Divide cada término en $x y = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$ por $x$ y simplifica.

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Paso 6.1

Divide cada término en $x y = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$ por $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}}{x} + \frac{C}{x}$

Paso 6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 6.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x y}{x} = \frac{\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}}{x} + \frac{C}{x}$

Paso 6.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}}{x} + \frac{C}{x}$

Paso 6.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.3.1.1

Mueve $x^{1}$ al numerador mediante la regla del exponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$y = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} x^{- 1} + \frac{C}{x}$

Paso 6.3.1.2

Multiplica $x^{\frac{3}{2}}$ por $x^{- 1}$ sumando los exponentes.

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Paso 6.3.1.2.1

Mueve $x^{- 1}$ .

$y = \frac{2}{3} (x^{- 1} x^{\frac{3}{2}}) + \frac{C}{x}$

Paso 6.3.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = \frac{2}{3} x^{- 1 + \frac{3}{2}} + \frac{C}{x}$

Paso 6.3.1.2.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{2}{3} x^{- 1 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}} + \frac{C}{x}$

Paso 6.3.1.2.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{2}{3} x^{\frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}} + \frac{C}{x}$

Paso 6.3.1.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{2}{3} x^{\frac{- 1 \cdot 2 + 3}{2}} + \frac{C}{x}$

Paso 6.3.1.2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.3.1.2.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$y = \frac{2}{3} x^{\frac{- 2 + 3}{2}} + \frac{C}{x}$

Paso 6.3.1.2.6.2

Suma $- 2$ y $3$ .

$y = \frac{2}{3} x^{\frac{1}{2}} + \frac{C}{x}$

Paso 6.3.1.3

Combina $\frac{2}{3}$ y $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{3} + \frac{C}{x}$