Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{(3 x^{3} + 2 x^{2} + 5) y}{x (4 y^{3} + 3 y)}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Reagrupa los factores.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{3} + 2 x^{2} + 5}{x} \cdot \frac{y}{4 y^{3} + 3 y}$

Paso 1.2

Multiplica ambos lados por $\frac{4 y^{3} + 3 y}{y}$ .

$\frac{4 y^{3} + 3 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{4 y^{3} + 3 y}{y} (\frac{3 x^{3} + 2 x^{2} + 5}{x} \cdot \frac{y}{4 y^{3} + 3 y})$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Factoriza $y$ de $4 y^{3} + 3 y$ .

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Paso 1.3.1.1

Factoriza $y$ de $4 y^{3}$ .

$\frac{4 y^{3} + 3 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y (4 y^{2}) + 3 y}{y} (\frac{3 x^{3} + 2 x^{2} + 5}{x} \cdot \frac{y}{4 y^{3} + 3 y})$

Paso 1.3.1.2

Factoriza $y$ de $3 y$ .

$\frac{4 y^{3} + 3 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y (4 y^{2}) + y \cdot 3}{y} (\frac{3 x^{3} + 2 x^{2} + 5}{x} \cdot \frac{y}{4 y^{3} + 3 y})$

Paso 1.3.1.3

Factoriza $y$ de $y (4 y^{2}) + y \cdot 3$ .

$\frac{4 y^{3} + 3 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y (4 y^{2} + 3)}{y} (\frac{3 x^{3} + 2 x^{2} + 5}{x} \cdot \frac{y}{4 y^{3} + 3 y})$

Paso 1.3.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 1.3.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 y^{3} + 3 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y (4 y^{2} + 3)}{y} (\frac{3 x^{3} + 2 x^{2} + 5}{x} \cdot \frac{y}{4 y^{3} + 3 y})$

Paso 1.3.2.2

Divide $4 y^{2} + 3$ por $1$ .

$\frac{4 y^{3} + 3 y}{y} \frac{d y}{d x} = (4 y^{2} + 3) (\frac{3 x^{3} + 2 x^{2} + 5}{x} \cdot \frac{y}{4 y^{3} + 3 y})$

Paso 1.3.3

Factoriza $y$ de $4 y^{3} + 3 y$ .

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Paso 1.3.3.1

Factoriza $y$ de $4 y^{3}$ .

$\frac{4 y^{3} + 3 y}{y} \frac{d y}{d x} = (4 y^{2} + 3) (\frac{3 x^{3} + 2 x^{2} + 5}{x} \cdot \frac{y}{y (4 y^{2}) + 3 y})$

Paso 1.3.3.2

Factoriza $y$ de $3 y$ .

$\frac{4 y^{3} + 3 y}{y} \frac{d y}{d x} = (4 y^{2} + 3) (\frac{3 x^{3} + 2 x^{2} + 5}{x} \cdot \frac{y}{y (4 y^{2}) + y \cdot 3})$

Paso 1.3.3.3

Factoriza $y$ de $y (4 y^{2}) + y \cdot 3$ .

$\frac{4 y^{3} + 3 y}{y} \frac{d y}{d x} = (4 y^{2} + 3) (\frac{3 x^{3} + 2 x^{2} + 5}{x} \cdot \frac{y}{y (4 y^{2} + 3)})$

Paso 1.3.4

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 1.3.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 y^{3} + 3 y}{y} \frac{d y}{d x} = (4 y^{2} + 3) (\frac{3 x^{3} + 2 x^{2} + 5}{x} \cdot \frac{y}{y (4 y^{2} + 3)})$

Paso 1.3.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{4 y^{3} + 3 y}{y} \frac{d y}{d x} = (4 y^{2} + 3) (\frac{3 x^{3} + 2 x^{2} + 5}{x} \cdot \frac{1}{4 y^{2} + 3})$

Paso 1.3.5

Multiplica $\frac{3 x^{3} + 2 x^{2} + 5}{x}$ por $\frac{1}{4 y^{2} + 3}$ .

$\frac{4 y^{3} + 3 y}{y} \frac{d y}{d x} = (4 y^{2} + 3) \frac{3 x^{3} + 2 x^{2} + 5}{x (4 y^{2} + 3)}$

Paso 1.3.6

Cancela el factor común de $4 y^{2} + 3$ .

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Paso 1.3.6.1

Factoriza $4 y^{2} + 3$ de $x (4 y^{2} + 3)$ .

$\frac{4 y^{3} + 3 y}{y} \frac{d y}{d x} = (4 y^{2} + 3) \frac{3 x^{3} + 2 x^{2} + 5}{(4 y^{2} + 3) x}$

Paso 1.3.6.2

Cancela el factor común.

$\frac{4 y^{3} + 3 y}{y} \frac{d y}{d x} = (4 y^{2} + 3) \frac{3 x^{3} + 2 x^{2} + 5}{(4 y^{2} + 3) x}$

Paso 1.3.6.3

Reescribe la expresión.

$\frac{4 y^{3} + 3 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{3} + 2 x^{2} + 5}{x}$

Paso 1.4

Reescribe la ecuación.

$\frac{4 y^{3} + 3 y}{y} d y = \frac{3 x^{3} + 2 x^{2} + 5}{x} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{4 y^{3} + 3 y}{y} d y = \int \frac{3 x^{3} + 2 x^{2} + 5}{x} d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Divide la fracción en varias fracciones.

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Paso 2.2.1.1

Factoriza $y$ de $4 y^{3} + 3 y$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Factoriza $y$ de $4 y^{3}$ .

$\int \frac{y (4 y^{2}) + 3 y}{y} d y = \int \frac{3 x^{3} + 2 x^{2} + 5}{x} d x$

Paso 2.2.1.1.2

Factoriza $y$ de $3 y$ .

$\int \frac{y (4 y^{2}) + y \cdot 3}{y} d y = \int \frac{3 x^{3} + 2 x^{2} + 5}{x} d x$

Paso 2.2.1.1.3

Factoriza $y$ de $y (4 y^{2}) + y \cdot 3$ .

$\int \frac{y (4 y^{2} + 3)}{y} d y = \int \frac{3 x^{3} + 2 x^{2} + 5}{x} d x$

Paso 2.2.1.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 2.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$\int \frac{y (4 y^{2} + 3)}{y} d y = \int \frac{3 x^{3} + 2 x^{2} + 5}{x} d x$

Paso 2.2.1.2.2

Divide $4 y^{2} + 3$ por $1$ .

$\int 4 y^{2} + 3 d y = \int \frac{3 x^{3} + 2 x^{2} + 5}{x} d x$

Paso 2.2.2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int 4 y^{2} d y + \int 3 d y = \int \frac{3 x^{3} + 2 x^{2} + 5}{x} d x$

Paso 2.2.3

Dado que $4$ es constante con respecto a $y$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$4 \int y^{2} d y + \int 3 d y = \int \frac{3 x^{3} + 2 x^{2} + 5}{x} d x$

Paso 2.2.4

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$4 (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1}) + \int 3 d y = \int \frac{3 x^{3} + 2 x^{2} + 5}{x} d x$

Paso 2.2.5

Aplica la regla de la constante.

$4 (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1}) + 3 y + C_{2} = \int \frac{3 x^{3} + 2 x^{2} + 5}{x} d x$

Paso 2.2.6

Simplifica.

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Paso 2.2.6.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $y^{3}$ .

$4 (\frac{y^{3}}{3} + C_{1}) + 3 y + C_{2} = \int \frac{3 x^{3} + 2 x^{2} + 5}{x} d x$

Paso 2.2.6.2

Simplifica.

$\frac{4 y^{3}}{3} + 3 y + C_{3} = \int \frac{3 x^{3} + 2 x^{2} + 5}{x} d x$

Paso 2.2.6.3

Reordena los términos.

$\frac{4}{3} y^{3} + 3 y + C_{3} = \int \frac{3 x^{3} + 2 x^{2} + 5}{x} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide la fracción en varias fracciones.

$\frac{4}{3} y^{3} + 3 y + C_{3} = \int \frac{3 x^{3}}{x} + \frac{2 x^{2}}{x} + \frac{5}{x} d x$

Paso 2.3.2

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{4}{3} y^{3} + 3 y + C_{3} = \int \frac{3 x^{3}}{x} d x + \int \frac{2 x^{2}}{x} d x + \int \frac{5}{x} d x$

Paso 2.3.3

Simplifica.

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Paso 2.3.3.1

Cancela el factor común de $x^{3}$ y $x$ .

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Paso 2.3.3.1.1

Factoriza $x$ de $3 x^{3}$ .

$\frac{4}{3} y^{3} + 3 y + C_{3} = \int \frac{x (3 x^{2})}{x} d x + \int \frac{2 x^{2}}{x} d x + \int \frac{5}{x} d x$

Paso 2.3.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.3.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{4}{3} y^{3} + 3 y + C_{3} = \int \frac{x (3 x^{2})}{x^{1}} d x + \int \frac{2 x^{2}}{x} d x + \int \frac{5}{x} d x$

Paso 2.3.3.1.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{4}{3} y^{3} + 3 y + C_{3} = \int \frac{x (3 x^{2})}{x \cdot 1} d x + \int \frac{2 x^{2}}{x} d x + \int \frac{5}{x} d x$

Paso 2.3.3.1.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{4}{3} y^{3} + 3 y + C_{3} = \int \frac{x (3 x^{2})}{x \cdot 1} d x + \int \frac{2 x^{2}}{x} d x + \int \frac{5}{x} d x$

Paso 2.3.3.1.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{4}{3} y^{3} + 3 y + C_{3} = \int \frac{3 x^{2}}{1} d x + \int \frac{2 x^{2}}{x} d x + \int \frac{5}{x} d x$

Paso 2.3.3.1.2.5

Divide $3 x^{2}$ por $1$ .

$\frac{4}{3} y^{3} + 3 y + C_{3} = \int 3 x^{2} d x + \int \frac{2 x^{2}}{x} d x + \int \frac{5}{x} d x$

Paso 2.3.3.2

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x$ .

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Paso 2.3.3.2.1

Factoriza $x$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{4}{3} y^{3} + 3 y + C_{3} = \int 3 x^{2} d x + \int \frac{x (2 x)}{x} d x + \int \frac{5}{x} d x$

Paso 2.3.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.3.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{4}{3} y^{3} + 3 y + C_{3} = \int 3 x^{2} d x + \int \frac{x (2 x)}{x^{1}} d x + \int \frac{5}{x} d x$

Paso 2.3.3.2.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{4}{3} y^{3} + 3 y + C_{3} = \int 3 x^{2} d x + \int \frac{x (2 x)}{x \cdot 1} d x + \int \frac{5}{x} d x$

Paso 2.3.3.2.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{4}{3} y^{3} + 3 y + C_{3} = \int 3 x^{2} d x + \int \frac{x (2 x)}{x \cdot 1} d x + \int \frac{5}{x} d x$

Paso 2.3.3.2.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{4}{3} y^{3} + 3 y + C_{3} = \int 3 x^{2} d x + \int \frac{2 x}{1} d x + \int \frac{5}{x} d x$

Paso 2.3.3.2.2.5

Divide $2 x$ por $1$ .

$\frac{4}{3} y^{3} + 3 y + C_{3} = \int 3 x^{2} d x + \int 2 x d x + \int \frac{5}{x} d x$

Paso 2.3.4

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$\frac{4}{3} y^{3} + 3 y + C_{3} = 3 \int x^{2} d x + \int 2 x d x + \int \frac{5}{x} d x$

Paso 2.3.5

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{4}{3} y^{3} + 3 y + C_{3} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4}) + \int 2 x d x + \int \frac{5}{x} d x$

Paso 2.3.6

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$\frac{4}{3} y^{3} + 3 y + C_{3} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4}) + 2 \int x d x + \int \frac{5}{x} d x$

Paso 2.3.7

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{4}{3} y^{3} + 3 y + C_{3} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4}) + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{5}) + \int \frac{5}{x} d x$

Paso 2.3.8

Dado que $5$ es constante con respecto a $x$ , mueve $5$ fuera de la integral.

$\frac{4}{3} y^{3} + 3 y + C_{3} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4}) + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{5}) + 5 \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.3.9

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$\frac{4}{3} y^{3} + 3 y + C_{3} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4}) + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{5}) + 5 (\ln (| x |) + C_{6})$

Paso 2.3.10

Simplifica.

$\frac{4}{3} y^{3} + 3 y + C_{3} = x^{3} + x^{2} + 5 \ln (| x |) + C_{7}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\frac{4}{3} y^{3} + 3 y = x^{3} + x^{2} + 5 \ln (| x |) + C$