Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = 2 x - 3 y + 6$

Paso 1

Suma $3 y$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{d y}{d x} + 3 y = 2 x + 6$

Paso 2

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = 3$ .

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Paso 2.1

Establece la integración.

$e^{\int 3 d x}$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$e^{3 x + C}$

Paso 2.3

Elimina la constante de integración.

$e^{3 x}$

Paso 3

Multiplica cada término por el factor integrador $e^{3 x}$ .

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Paso 3.1

Multiplica cada término por $e^{3 x}$ .

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + e^{3 x} (3 y) = e^{3 x} (2 x) + e^{3 x} \cdot 6$

Paso 3.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = e^{3 x} (2 x) + e^{3 x} \cdot 6$

Paso 3.3

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = 2 e^{3 x} x + e^{3 x} \cdot 6$

Paso 3.3.2

Mueve $6$ a la izquierda de $e^{3 x}$ .

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = 2 e^{3 x} x + 6 e^{3 x}$

Paso 3.4

Reordena los factores en $e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = 2 e^{3 x} x + 6 e^{3 x}$ .

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 y e^{3 x} = 2 x e^{3 x} + 6 e^{3 x}$

Paso 4

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [e^{3 x} y] = 2 x e^{3 x} + 6 e^{3 x}$

Paso 5

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{3 x} y] d x = \int 2 x e^{3 x} + 6 e^{3 x} d x$

Paso 6

Integra el lado izquierdo.

$e^{3 x} y = \int 2 x e^{3 x} + 6 e^{3 x} d x$

Paso 7

Integra el lado derecho.

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Paso 7.1

Divide la única integral en varias integrales.

$e^{3 x} y = \int 2 x e^{3 x} d x + \int 6 e^{3 x} d x$

Paso 7.2

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$e^{3 x} y = 2 \int x e^{3 x} d x + \int 6 e^{3 x} d x$

Paso 7.3

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x$ y $d v = e^{3 x}$ .

$e^{3 x} y = 2 (x (\frac{1}{3} e^{3 x}) - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x) + \int 6 e^{3 x} d x$

Paso 7.4

Simplifica.

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Paso 7.4.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $e^{3 x}$ .

$e^{3 x} y = 2 (x \frac{e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x) + \int 6 e^{3 x} d x$

Paso 7.4.2

Combina $x$ y $\frac{e^{3 x}}{3}$ .

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x) + \int 6 e^{3 x} d x$

Paso 7.4.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $e^{3 x}$ .

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \int \frac{e^{3 x}}{3} d x) + \int 6 e^{3 x} d x$

Paso 7.5

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - (\frac{1}{3} \int e^{3 x} d x)) + \int 6 e^{3 x} d x$

Paso 7.6

Sea $u_{1} = 3 x$ . Entonces $d u_{1} = 3 d x$ , de modo que $\frac{1}{3} d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 7.6.1

Deja $u_{1} = 3 x$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 7.6.1.1

Diferencia $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Paso 7.6.1.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 7.6.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Paso 7.6.1.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$3$

Paso 7.6.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} \int e^{u_{1}} \frac{1}{3} d u_{1}) + \int 6 e^{3 x} d x$

Paso 7.7

Combina $e^{u_{1}}$ y $\frac{1}{3}$ .

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{e^{u_{1}}}{3} d u_{1}) + \int 6 e^{3 x} d x$

Paso 7.8

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int e^{u_{1}} d u_{1})) + \int 6 e^{3 x} d x$

Paso 7.9

Simplifica.

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Paso 7.9.1

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{3}$ .

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int 6 e^{3 x} d x$

Paso 7.9.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int 6 e^{3 x} d x$

Paso 7.10

La integral de $e^{u_{1}}$ con respecto a $u_{1}$ es $e^{u_{1}}$ .

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C)) + \int 6 e^{3 x} d x$

Paso 7.11

Dado que $6$ es constante con respecto a $x$ , mueve $6$ fuera de la integral.

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C)) + 6 \int e^{3 x} d x$

Paso 7.12

Sea $u_{2} = 3 x$ . Entonces $d u_{2} = 3 d x$ , de modo que $\frac{1}{3} d u_{2} = d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 7.12.1

Deja $u_{2} = 3 x$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 7.12.1.1

Diferencia $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Paso 7.12.1.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 7.12.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Paso 7.12.1.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$3$

Paso 7.12.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C)) + 6 \int e^{u_{2}} \frac{1}{3} d u_{2}$

Paso 7.13

Combina $e^{u_{2}}$ y $\frac{1}{3}$ .

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C)) + 6 \int \frac{e^{u_{2}}}{3} d u_{2}$

Paso 7.14

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C)) + 6 (\frac{1}{3} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Paso 7.15

Simplifica.

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Paso 7.15.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $6$ .

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C)) + \frac{6}{3} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Paso 7.15.2

Cancela el factor común de $6$ y $3$ .

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Paso 7.15.2.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C)) + \frac{3 \cdot 2}{3} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Paso 7.15.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.15.2.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C)) + \frac{3 \cdot 2}{3 (1)} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Paso 7.15.2.2.2

Cancela el factor común.

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C)) + \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Paso 7.15.2.2.3

Reescribe la expresión.

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C)) + \frac{2}{1} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Paso 7.15.2.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C)) + 2 \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Paso 7.16

La integral de $e^{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $e^{u_{2}}$ .

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C)) + 2 (e^{u_{2}} + C)$

Paso 7.17

Simplifica.

$e^{3 x} y = 2 (\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{u_{1}}) + 2 e^{u_{2}} + C$

Paso 7.18

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 7.18.1

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $3 x$ .

$e^{3 x} y = 2 (\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{3 x}) + 2 e^{u_{2}} + C$

Paso 7.18.2

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $3 x$ .

$e^{3 x} y = 2 (\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{3 x}) + 2 e^{3 x} + C$

Paso 8

Resuelve $y$

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Paso 8.1

Simplifica.

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Paso 8.1.1

Combina $e^{3 x}$ y $\frac{1}{9}$ .

$e^{3 x} y = 2 (\frac{1}{3} \cdot (x e^{3 x}) - \frac{e^{3 x}}{9}) + 2 e^{3 x} + C$

Paso 8.1.2

Elimina los paréntesis.

$e^{3 x} y = 2 (\frac{1}{3} \cdot x e^{3 x} - \frac{e^{3 x}}{9}) + 2 e^{3 x} + C$

Paso 8.2

Divide cada término en $e^{3 x} y = 2 (\frac{1}{3} \cdot (x e^{3 x}) - \frac{e^{3 x}}{9}) + 2 e^{3 x} + C$ por $e^{3 x}$ y simplifica.

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Paso 8.2.1

Divide cada término en $e^{3 x} y = 2 (\frac{1}{3} \cdot (x e^{3 x}) - \frac{e^{3 x}}{9}) + 2 e^{3 x} + C$ por $e^{3 x}$ .

$\frac{e^{3 x} y}{e^{3 x}} = \frac{2 (\frac{1}{3} \cdot (x e^{3 x}) - \frac{e^{3 x}}{9})}{e^{3 x}} + \frac{2 e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Paso 8.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.2.1

Cancela el factor común de $e^{3 x}$ .

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Paso 8.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{3 x} y}{e^{3 x}} = \frac{2 (\frac{1}{3} \cdot (x e^{3 x}) - \frac{e^{3 x}}{9})}{e^{3 x}} + \frac{2 e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Paso 8.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{2 (\frac{1}{3} \cdot (x e^{3 x}) - \frac{e^{3 x}}{9})}{e^{3 x}} + \frac{2 e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Paso 8.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.2.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{2 (\frac{1}{3} \cdot (x e^{3 x}) - \frac{e^{3 x}}{9}) + 2 e^{3 x} + C}{e^{3 x}}$

Paso 8.2.3.2

Simplifica cada término.

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Paso 8.2.3.2.1

Multiplica $\frac{1}{3} (x e^{3 x})$ .

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Paso 8.2.3.2.1.1

Combina $x$ y $\frac{1}{3}$ .

$y = \frac{2 (\frac{x}{3} e^{3 x} - \frac{e^{3 x}}{9}) + 2 e^{3 x} + C}{e^{3 x}}$

Paso 8.2.3.2.1.2

Combina $\frac{x}{3}$ y $e^{3 x}$ .

$y = \frac{2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{e^{3 x}}{9}) + 2 e^{3 x} + C}{e^{3 x}}$

Paso 8.2.3.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{2 \frac{x e^{3 x}}{3} + 2 (- \frac{e^{3 x}}{9}) + 2 e^{3 x} + C}{e^{3 x}}$

Paso 8.2.3.2.3

Combina $2$ y $\frac{x e^{3 x}}{3}$ .

$y = \frac{\frac{2 (x e^{3 x})}{3} + 2 (- \frac{e^{3 x}}{9}) + 2 e^{3 x} + C}{e^{3 x}}$

Paso 8.2.3.2.4

Multiplica $2 (- \frac{e^{3 x}}{9})$ .

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Paso 8.2.3.2.4.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$y = \frac{\frac{2 (x e^{3 x})}{3} - 2 \frac{e^{3 x}}{9} + 2 e^{3 x} + C}{e^{3 x}}$

Paso 8.2.3.2.4.2

Combina $- 2$ y $\frac{e^{3 x}}{9}$ .

$y = \frac{\frac{2 (x e^{3 x})}{3} + \frac{- 2 e^{3 x}}{9} + 2 e^{3 x} + C}{e^{3 x}}$

Paso 8.2.3.2.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = \frac{\frac{2 x e^{3 x}}{3} - \frac{2 e^{3 x}}{9} + 2 e^{3 x} + C}{e^{3 x}}$

Paso 8.2.3.3

Para escribir $2 e^{3 x}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{9}{9}$ .

$y = \frac{\frac{2 x e^{3 x}}{3} - \frac{2 e^{3 x}}{9} + 2 e^{3 x} \cdot \frac{9}{9} + C}{e^{3 x}}$

Paso 8.2.3.4

Simplifica los términos.

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Paso 8.2.3.4.1

Combina $2 e^{3 x}$ y $\frac{9}{9}$ .

$y = \frac{\frac{2 x e^{3 x}}{3} - \frac{2 e^{3 x}}{9} + \frac{2 e^{3 x} \cdot 9}{9} + C}{e^{3 x}}$

Paso 8.2.3.4.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{\frac{2 x e^{3 x}}{3} + \frac{- 2 e^{3 x} + 2 e^{3 x} \cdot 9}{9} + C}{e^{3 x}}$

Paso 8.2.3.5

Simplifica el numerador.

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Paso 8.2.3.5.1

Factoriza $2 e^{3 x}$ de $- 2 e^{3 x} + 2 e^{3 x} \cdot 9$ .

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Paso 8.2.3.5.1.1

Factoriza $2 e^{3 x}$ de $- 2 e^{3 x}$ .

$y = \frac{\frac{2 x e^{3 x}}{3} + \frac{2 e^{3 x} (- 1) + 2 e^{3 x} \cdot 9}{9} + C}{e^{3 x}}$

Paso 8.2.3.5.1.2

Factoriza $2 e^{3 x}$ de $2 e^{3 x} \cdot 9$ .

$y = \frac{\frac{2 x e^{3 x}}{3} + \frac{2 e^{3 x} (- 1) + 2 e^{3 x} (9)}{9} + C}{e^{3 x}}$

Paso 8.2.3.5.1.3

Factoriza $2 e^{3 x}$ de $2 e^{3 x} (- 1) + 2 e^{3 x} (9)$ .

$y = \frac{\frac{2 x e^{3 x}}{3} + \frac{2 e^{3 x} (- 1 + 9)}{9} + C}{e^{3 x}}$

Paso 8.2.3.5.2

Suma $- 1$ y $9$ .

$y = \frac{\frac{2 x e^{3 x}}{3} + \frac{2 e^{3 x} \cdot 8}{9} + C}{e^{3 x}}$

Paso 8.2.3.5.3

Multiplica $8$ por $2$ .

$y = \frac{\frac{2 x e^{3 x}}{3} + \frac{16 e^{3 x}}{9} + C}{e^{3 x}}$

Paso 8.2.3.6

Simplifica el numerador.

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Paso 8.2.3.6.1

Para escribir $\frac{2 x e^{3 x}}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{\frac{2 x e^{3 x}}{3} \cdot \frac{3}{3} + \frac{16 e^{3 x}}{9} + C}{e^{3 x}}$

Paso 8.2.3.6.2

Escribe cada expresión con un denominador común de $9$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 8.2.3.6.2.1

Multiplica $\frac{2 x e^{3 x}}{3}$ por $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{\frac{2 x e^{3 x} \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{16 e^{3 x}}{9} + C}{e^{3 x}}$

Paso 8.2.3.6.2.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$y = \frac{\frac{2 x e^{3 x} \cdot 3}{9} + \frac{16 e^{3 x}}{9} + C}{e^{3 x}}$

Paso 8.2.3.6.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{\frac{2 x e^{3 x} \cdot 3 + 16 e^{3 x}}{9} + C}{e^{3 x}}$

Paso 8.2.3.6.4

Simplifica el numerador.

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Paso 8.2.3.6.4.1

Factoriza $2 e^{3 x}$ de $2 x e^{3 x} \cdot 3 + 16 e^{3 x}$ .

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Paso 8.2.3.6.4.1.1

Factoriza $2 e^{3 x}$ de $2 x e^{3 x} \cdot 3$ .

$y = \frac{\frac{2 e^{3 x} (x \cdot 3) + 16 e^{3 x}}{9} + C}{e^{3 x}}$

Paso 8.2.3.6.4.1.2

Factoriza $2 e^{3 x}$ de $16 e^{3 x}$ .

$y = \frac{\frac{2 e^{3 x} (x \cdot 3) + 2 e^{3 x} (8)}{9} + C}{e^{3 x}}$

Paso 8.2.3.6.4.1.3

Factoriza $2 e^{3 x}$ de $2 e^{3 x} (x \cdot 3) + 2 e^{3 x} (8)$ .

$y = \frac{\frac{2 e^{3 x} (x \cdot 3 + 8)}{9} + C}{e^{3 x}}$

Paso 8.2.3.6.4.2

Mueve $3$ a la izquierda de $x$ .

$y = \frac{\frac{2 e^{3 x} (3 x + 8)}{9} + C}{e^{3 x}}$

Paso 8.2.3.6.5

Para escribir $C$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{9}{9}$ .

$y = \frac{\frac{2 e^{3 x} (3 x + 8)}{9} + C \cdot \frac{9}{9}}{e^{3 x}}$

Paso 8.2.3.6.6

Combina $C$ y $\frac{9}{9}$ .

$y = \frac{\frac{2 e^{3 x} (3 x + 8)}{9} + \frac{C \cdot 9}{9}}{e^{3 x}}$

Paso 8.2.3.6.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{\frac{2 e^{3 x} (3 x + 8) + C \cdot 9}{9}}{e^{3 x}}$

Paso 8.2.3.6.8

Simplifica el numerador.

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Paso 8.2.3.6.8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{\frac{2 e^{3 x} (3 x) + 2 e^{3 x} \cdot 8 + C \cdot 9}{9}}{e^{3 x}}$

Paso 8.2.3.6.8.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$y = \frac{\frac{2 \cdot 3 e^{3 x} x + 2 e^{3 x} \cdot 8 + C \cdot 9}{9}}{e^{3 x}}$

Paso 8.2.3.6.8.3

Multiplica $8$ por $2$ .

$y = \frac{\frac{2 \cdot 3 e^{3 x} x + 16 e^{3 x} + C \cdot 9}{9}}{e^{3 x}}$

Paso 8.2.3.6.8.4

Multiplica $2$ por $3$ .

$y = \frac{\frac{6 e^{3 x} x + 16 e^{3 x} + C \cdot 9}{9}}{e^{3 x}}$

Paso 8.2.3.6.8.5

Mueve $9$ a la izquierda de $C$ .

$y = \frac{\frac{6 e^{3 x} x + 16 e^{3 x} + 9 C}{9}}{e^{3 x}}$

Paso 8.2.3.7

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$y = \frac{6 e^{3 x} x + 16 e^{3 x} + 9 C}{9} \cdot \frac{1}{e^{3 x}}$

Paso 8.2.3.8

Multiplica $\frac{6 e^{3 x} x + 16 e^{3 x} + 9 C}{9}$ por $\frac{1}{e^{3 x}}$ .

$y = \frac{6 e^{3 x} x + 16 e^{3 x} + 9 C}{9 e^{3 x}}$

Paso 8.2.3.9

Reordena los factores en $\frac{6 e^{3 x} x + 16 e^{3 x} + 9 C}{9 e^{3 x}}$ .

$y = \frac{6 x e^{3 x} + 16 e^{3 x} + 9 C}{9 e^{3 x}}$