Cálculo Ejemplos

$2 \frac{d y}{d x} = 4 x e^{- x}$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$2 d y = 4 x e^{- x} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int 2 d y = \int 4 x e^{- x} d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$2 y + C_{1} = \int 4 x e^{- x} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$2 y + C_{1} = 4 \int x e^{- x} d x$

Paso 2.3.2

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x$ y $d v = e^{- x}$ .

$2 y + C_{1} = 4 (x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x)$

Paso 2.3.3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$2 y + C_{1} = 4 (x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x)$

Paso 2.3.4

Simplifica.

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Paso 2.3.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$2 y + C_{1} = 4 (x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x)$

Paso 2.3.4.2

Multiplica $\int e^{- x} d x$ por $1$ .

$2 y + C_{1} = 4 (x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x)$

Paso 2.3.5

Sea $u = - x$ . Entonces $d u = - d x$ , de modo que $- d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.3.5.1

Deja $u = - x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.3.5.1.1

Diferencia $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Paso 2.3.5.1.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.5.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Paso 2.3.5.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 2.3.5.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$2 y + C_{1} = 4 (x (- e^{- x}) + \int - e^{u} d u)$

Paso 2.3.6

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$2 y + C_{1} = 4 (x (- e^{- x}) - \int e^{u} d u)$

Paso 2.3.7

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$2 y + C_{1} = 4 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C_{2}))$

Paso 2.3.8

Reescribe $4 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C_{2}))$ como $4 (- x e^{- x} - e^{u}) + C_{2}$ .

$2 y + C_{1} = 4 (- x e^{- x} - e^{u}) + C_{2}$

Paso 2.3.9

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- x$ .

$2 y + C_{1} = 4 (- x e^{- x} - e^{- x}) + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$2 y = 4 (- x e^{- x} - e^{- x}) + K$

Paso 3

Divide cada término en $2 y = 4 (- x e^{- x} - e^{- x}) + K$ por $2$ y simplifica.

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Paso 3.1

Divide cada término en $2 y = 4 (- x e^{- x} - e^{- x}) + K$ por $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{4 (- x e^{- x} - e^{- x})}{2} + \frac{K}{2}$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 y}{2} = \frac{4 (- x e^{- x} - e^{- x})}{2} + \frac{K}{2}$

Paso 3.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{4 (- x e^{- x} - e^{- x})}{2} + \frac{K}{2}$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{4 (- x e^{- x} - e^{- x}) + K}{2}$

Paso 3.3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 3.3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{4 (- x e^{- x}) + 4 (- e^{- x}) + K}{2}$

Paso 3.3.2.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$y = \frac{- 4 (x e^{- x}) + 4 (- e^{- x}) + K}{2}$

Paso 3.3.2.3

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$y = \frac{- 4 x e^{- x} - 4 e^{- x} + K}{2}$

Paso 3.3.3

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 3.3.3.1

Factoriza $- 1$ de $- 4 x e^{- x}$ .

$y = \frac{- (4 x e^{- x}) - 4 e^{- x} + K}{2}$

Paso 3.3.3.2

Factoriza $- 1$ de $- 4 e^{- x}$ .

$y = \frac{- (4 x e^{- x}) - (4 e^{- x}) + K}{2}$

Paso 3.3.3.3

Factoriza $- 1$ de $- (4 x e^{- x}) - (4 e^{- x})$ .

$y = \frac{- (4 x e^{- x} + 4 e^{- x}) + K}{2}$

Paso 3.3.3.4

Factoriza $- 1$ de $K$ .

$y = \frac{- (4 x e^{- x} + 4 e^{- x}) - 1 (- K)}{2}$

Paso 3.3.3.5

Factoriza $- 1$ de $- (4 x e^{- x} + 4 e^{- x}) - 1 (- K)$ .

$y = \frac{- (4 x e^{- x} + 4 e^{- x} - K)}{2}$

Paso 3.3.3.6

Simplifica la expresión.

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Paso 3.3.3.6.1

Reescribe $- (4 x e^{- x} + 4 e^{- x} - K)$ como $- 1 (4 x e^{- x} + 4 e^{- x} - K)$ .

$y = \frac{- 1 (4 x e^{- x} + 4 e^{- x} - K)}{2}$

Paso 3.3.3.6.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{4 x e^{- x} + 4 e^{- x} - K}{2}$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = - \frac{4 x e^{- x} + 4 e^{- x} + K}{2}$