Cálculo Ejemplos

$(x \sin (x) + 1) d y + (y \sin (x) + x y \cos (x)) d x = 0$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial para que se ajuste a la técnica de ecuación diferencial exacta.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Reescribe.

$(y \sin (x) + x y \cos (x)) d x + (x \sin (x) + 1) d y = 0$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = y \sin (x) + x y \cos (x)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y \sin (x) + x y \cos (x)]$

Paso 2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $y \sin (x) + x y \cos (x)$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y \sin (x)] + \frac{d}{d y} [x y \cos (x)]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y \sin (x)] + \frac{d}{d y} [x y \cos (x)]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [y \sin (x)]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Como $\sin (x)$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $y \sin (x)$ con respecto a $y$ es $\sin (x) \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \sin (x) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [x y \cos (x)]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \sin (x) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [x y \cos (x)]$

Paso 2.3.3

Multiplica $\sin (x)$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \sin (x) + \frac{d}{d y} [x y \cos (x)]$

Paso 2.4

Evalúa $\frac{d}{d y} [x y \cos (x)]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.1

Como $x \cos (x)$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $x y \cos (x)$ con respecto a $y$ es $x \cos (x) \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \sin (x) + x \cos (x) \frac{d}{d y} [y]$

Paso 2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \sin (x) + x \cos (x) \cdot 1$

Paso 2.4.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \sin (x) + x \cos (x)$

Paso 2.5

Reordena los términos.

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \cos (x) + \sin (x)$

Paso 3

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = x \sin (x) + 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x \sin (x) + 1]$

Paso 3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x \sin (x) + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [x \sin (x)]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \sin (x)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 3.3.2

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 3.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 3.3.4

Multiplica $\sin (x)$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \cos (x) + \sin (x) + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la constante.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.1

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \cos (x) + \sin (x) + 0$

Paso 3.4.2

Suma $x \cos (x) + \sin (x)$ y $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \cos (x) + \sin (x)$

Paso 4

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Sustituye $x \cos (x) + \sin (x)$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $x \cos (x) + \sin (x)$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$x \cos (x) + \sin (x) = x \cos (x) + \sin (x)$

Paso 4.2

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$x \cos (x) + \sin (x) = x \cos (x) + \sin (x)$ es una identidad.

Paso 5

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x \sin (x) + 1 d y$

Paso 6

Integra $N (x, y) = x \sin (x) + 1$ para obtener $f (x, y)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Aplica la regla de la constante.

$f (x, y) = (x \sin (x) + 1) y + C$

Paso 7

Como la integral de $g (x)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = (x \sin (x) + 1) y + g (x)$

Paso 8

Establece $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = y \sin (x) + x y \cos (x)$

Paso 9

Obtén $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1

Diferencia $f$ con respecto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [(x \sin (x) + 1) y + g (x)] = y \sin (x) + x y \cos (x)$

Paso 9.2

Según la regla de la suma, la derivada de $(x \sin (x) + 1) y + g (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [(x \sin (x) + 1) y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [(x \sin (x) + 1) y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sin (x) + x y \cos (x)$

Paso 9.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [(x \sin (x) + 1) y]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.3.1

Como $y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $(x \sin (x) + 1) y$ con respecto a $x$ es $y \frac{d}{d x} [x \sin (x) + 1]$ .

$y \frac{d}{d x} [x \sin (x) + 1] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sin (x) + x y \cos (x)$

Paso 9.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x \sin (x) + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$y (\frac{d}{d x} [x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sin (x) + x y \cos (x)$

Paso 9.3.3

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \sin (x)$ .

$y (x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sin (x) + x y \cos (x)$

Paso 9.3.4

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$y (x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sin (x) + x y \cos (x)$

Paso 9.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$y (x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sin (x) + x y \cos (x)$

Paso 9.3.6

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$y (x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sin (x) + x y \cos (x)$

Paso 9.3.7

Multiplica $\sin (x)$ por $1$ .

$y (x \cos (x) + \sin (x) + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sin (x) + x y \cos (x)$

Paso 9.3.8

Suma $x \cos (x) + \sin (x)$ y $0$ .

$y (x \cos (x) + \sin (x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sin (x) + x y \cos (x)$

Paso 9.4

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (x)$ es $\frac{d g}{d x}$ .

$y (x \cos (x) + \sin (x)) + \frac{d g}{d x} = y \sin (x) + x y \cos (x)$

Paso 9.5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y (x \cos (x)) + y \sin (x) + \frac{d g}{d x} = y \sin (x) + x y \cos (x)$

Paso 9.5.2

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d x} + x y \cos (x) + y \sin (x) = y \sin (x) + x y \cos (x)$

Paso 10

Resuelve $\frac{d g}{d x}$

Toca para ver más pasos...

Paso 10.1

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d g}{d x}$ al lado derecho de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.1.1

Resta $x y \cos (x)$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d x} + y \sin (x) = y \sin (x) + x y \cos (x) - x y \cos (x)$

Paso 10.1.2

Resta $y \sin (x)$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d x} = y \sin (x) + x y \cos (x) - x y \cos (x) - y \sin (x)$

Paso 10.1.3

Combina los términos opuestos en $y \sin (x) + x y \cos (x) - x y \cos (x) - y \sin (x)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.1.3.1

Resta $x y \cos (x)$ de $x y \cos (x)$ .

$\frac{d g}{d x} = y \sin (x) + 0 - y \sin (x)$

Paso 10.1.3.2

Suma $y \sin (x)$ y $0$ .

$\frac{d g}{d x} = y \sin (x) - y \sin (x)$

Paso 10.1.3.3

Resta $y \sin (x)$ de $y \sin (x)$ .

$\frac{d g}{d x} = 0$

Paso 11

Obtén la antiderivada de $0$ y obtén $g (x)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d x} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 0 d x$

Paso 11.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 0 d x$

Paso 11.3

La integral de $0$ con respecto a $x$ es $0$ .

$g (x) = 0 + C$

Paso 11.4

Suma $0$ y $C$ .

$g (x) = C$

Paso 12

Sustituye por $g (x)$ en $f (x, y) = (x \sin (x) + 1) y + g (x)$ .

$f (x, y) = (x \sin (x) + 1) y + C$

Paso 13

Simplifica $f (x, y) = (x \sin (x) + 1) y + C$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x, y) = x \sin (x) y + 1 y + C$

Paso 13.1.2

Multiplica $y$ por $1$ .

$f (x, y) = x \sin (x) y + y + C$

Paso 13.2

Reordena los factores en $f (x, y) = x \sin (x) y + y + C$ .

$f (x, y) = x y \sin (x) + y + C$