Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = x^{2} y - y + x^{2} - 1$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Factoriza.

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Paso 1.1.1

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 1.1.1.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{d y}{d x} = (x^{2} y - y) + x^{2} - 1$

Paso 1.1.1.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{d y}{d x} = y (x^{2} - 1) + 1 (x^{2} - 1)$

Paso 1.1.2

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $x^{2} - 1$ .

$\frac{d y}{d x} = (x^{2} - 1) (y + 1)$

Paso 1.1.3

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = (x^{2} - 1^{2}) (y + 1)$

Paso 1.1.4

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$\frac{d y}{d x} = (x + 1) (x - 1) (y + 1)$

Paso 1.2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{y + 1}$ .

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} ((x + 1) (x - 1) (y + 1))$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Cancela el factor común de $y + 1$ .

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Paso 1.3.1.1

Factoriza $y + 1$ de $(x + 1) (x - 1) (y + 1)$ .

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} ((y + 1) ((x + 1) (x - 1)))$

Paso 1.3.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} ((y + 1) ((x + 1) (x - 1)))$

Paso 1.3.1.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = (x + 1) (x - 1)$

Paso 1.3.2

Expande $(x + 1) (x - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = x (x - 1) + 1 (x - 1)$

Paso 1.3.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1)$

Paso 1.3.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1$

Paso 1.3.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1$

Paso 1.3.3.1.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1$

Paso 1.3.3.1.3

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1$

Paso 1.3.3.1.4

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1$

Paso 1.3.3.1.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = x^{2} - x + x - 1$

Paso 1.3.3.2

Suma $- x$ y $x$ .

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = x^{2} + 0 - 1$

Paso 1.3.3.3

Suma $x^{2}$ y $0$ .

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = x^{2} - 1$

Paso 1.4

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{y + 1} d y = (x^{2} - 1) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{y + 1} d y = \int x^{2} - 1 d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Sea $u = y + 1$ . Entonces $d u = d y$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.2.1.1

Deja $u = y + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d y}$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Diferencia $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

Paso 2.2.1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $y + 1$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Paso 2.2.1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

Paso 2.2.1.1.4

Como $1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $1$ con respecto a $y$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 2.2.1.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 2.2.1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int x^{2} - 1 d x$

Paso 2.2.2

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int x^{2} - 1 d x$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y + 1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int x^{2} - 1 d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int x^{2} d x + \int - 1 d x$

Paso 2.3.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + \int - 1 d x$

Paso 2.3.3

Aplica la regla de la constante.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} - x + C_{3}$

Paso 2.3.4

Simplifica.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} - x + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\ln (| y + 1 |) = \frac{1}{3} x^{3} - x + C$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (| y + 1 |)} = e^{\frac{1}{3} x^{3} - x + C}$

Paso 3.2

Reescribe $\ln (| y + 1 |) = \frac{1}{3} x^{3} - x + C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{1}{3} x^{3} - x + C} = | y + 1 |$

Paso 3.3

Resuelve $y$

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Paso 3.3.1

Reescribe la ecuación como $| y + 1 | = e^{\frac{1}{3} x^{3} - x + C}$ .

$| y + 1 | = e^{\frac{1}{3} x^{3} - x + C}$

Paso 3.3.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$| y + 1 | = e^{\frac{x^{3}}{3} - x + C}$

Paso 3.3.3

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$y + 1 = \pm e^{\frac{x^{3}}{3} - x + C}$

Paso 3.3.4

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$y = \pm e^{\frac{x^{3}}{3} - x + C} - 1$

Paso 4

Agrupa los términos de la constante.

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Paso 4.1

Reescribe $e^{\frac{x^{3}}{3} - x + C}$ como $e^{\frac{x^{3}}{3} - x} e^{C}$ .

$y = \pm e^{\frac{x^{3}}{3} - x} e^{C} - 1$

Paso 4.2

Reordena $e^{\frac{x^{3}}{3} - x}$ y $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{\frac{x^{3}}{3} - x} - 1$

Paso 4.3

Combina constantes con el signo más o menos.

$y = C e^{\frac{x^{3}}{3} - x} - 1$