Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{4}{1 + x^{2}}$ , $y (1) = \frac{π}{2}$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d y = \frac{4}{1 + x^{2}} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int \frac{4}{1 + x^{2}} d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int \frac{4}{1 + x^{2}} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = 4 \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Paso 2.3.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$y + C_{1} = 4 \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Paso 2.3.3

La integral de $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ con respecto a $x$ es $\arctan (x) + C_{2}$ .

$y + C_{1} = 4 (\arctan (x) + C_{2})$

Paso 2.3.4

Simplifica.

$y + C_{1} = 4 \arctan (x) + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y = 4 \arctan (x) + K$

Paso 3

Usa la condición inicial para obtener el valor de $K$ mediante la sustitución de $1$ por $x$ y de $\frac{π}{2}$ por $y$ en $y = 4 \arctan (x) + K$ .

$\frac{π}{2} = 4 \arctan (1) + K$

Paso 4

Resuelve $K$

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $4 \arctan (1) + K = \frac{π}{2}$ .

$4 \arctan (1) + K = \frac{π}{2}$

Paso 4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

El valor exacto de $\arctan (1)$ es $\frac{π}{4}$ .

$4 \frac{π}{4} + K = \frac{π}{2}$

Paso 4.2.1.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 4.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$4 \frac{π}{4} + K = \frac{π}{2}$

Paso 4.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$π + K = \frac{π}{2}$

Paso 4.3

Mueve todos los términos que no contengan $K$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.3.1

Resta $π$ de ambos lados de la ecuación.

$K = \frac{π}{2} - π$

Paso 4.3.2

Para escribir $- π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$K = \frac{π}{2} - π \cdot \frac{2}{2}$

Paso 4.3.3

Combina $- π$ y $\frac{2}{2}$ .

$K = \frac{π}{2} + \frac{- π \cdot 2}{2}$

Paso 4.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$K = \frac{π - π \cdot 2}{2}$

Paso 4.3.5

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.5.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$K = \frac{π - 2 π}{2}$

Paso 4.3.5.2

Resta $2 π$ de $π$ .

$K = \frac{- π}{2}$

Paso 4.3.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$K = - \frac{π}{2}$

Paso 5

Sustituye $- \frac{π}{2}$ por $K$ en $y = 4 \arctan (x) + K$ y simplifica.

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Paso 5.1

Sustituye $- \frac{π}{2}$ por $K$ .

$y = 4 \arctan (x) - \frac{π}{2}$