Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} + 7 y + \ln (x) = 0$

Paso 1

Resta $\ln (x)$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d y}{d x} + 7 y = - \ln (x)$

Paso 2

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = 7$ .

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Paso 2.1

Establece la integración.

$e^{\int 7 d x}$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$e^{7 x + C}$

Paso 2.3

Elimina la constante de integración.

$e^{7 x}$

Paso 3

Multiplica cada término por el factor integrador $e^{7 x}$ .

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Paso 3.1

Multiplica cada término por $e^{7 x}$ .

$e^{7 x} \frac{d y}{d x} + e^{7 x} (7 y) = e^{7 x} (- \ln (x))$

Paso 3.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{7 x} \frac{d y}{d x} + 7 e^{7 x} y = e^{7 x} (- \ln (x))$

Paso 3.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{7 x} \frac{d y}{d x} + 7 e^{7 x} y = - e^{7 x} \ln (x)$

Paso 3.4

Reordena los factores en $e^{7 x} \frac{d y}{d x} + 7 e^{7 x} y = - e^{7 x} \ln (x)$ .

$e^{7 x} \frac{d y}{d x} + 7 y e^{7 x} = - e^{7 x} \ln (x)$

Paso 4

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [e^{7 x} y] = - e^{7 x} \ln (x)$

Paso 5

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{7 x} y] d x = \int - e^{7 x} \ln (x) d x$

Paso 6

Integra el lado izquierdo.

$e^{7 x} y = \int - e^{7 x} \ln (x) d x$

Paso 7

Integra el lado derecho.

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Paso 7.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$e^{7 x} y = - \int e^{7 x} \ln (x) d x$

Paso 7.2

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \ln (x)$ y $d v = e^{7 x}$ .

$e^{7 x} y = - (\ln (x) (\frac{1}{7} e^{7 x}) - \int \frac{1}{7} e^{7 x} \frac{1}{x} d x)$

Paso 7.3

Simplifica.

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Paso 7.3.1

Combina $\frac{1}{7}$ y $e^{7 x}$ .

$e^{7 x} y = - (\ln (x) \frac{e^{7 x}}{7} - \int \frac{1}{7} e^{7 x} \frac{1}{x} d x)$

Paso 7.3.2

Combina $\ln (x)$ y $\frac{e^{7 x}}{7}$ .

$e^{7 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{7 x}}{7} - \int \frac{1}{7} e^{7 x} \frac{1}{x} d x)$

Paso 7.3.3

Combina $\frac{1}{7}$ y $e^{7 x}$ .

$e^{7 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{7 x}}{7} - \int \frac{e^{7 x}}{7} \cdot \frac{1}{x} d x)$

Paso 7.3.4

Multiplica $\frac{e^{7 x}}{7}$ por $\frac{1}{x}$ .

$e^{7 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{7 x}}{7} - \int \frac{e^{7 x}}{7 x} d x)$

Paso 7.4

Dado que $\frac{1}{7}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{7}$ fuera de la integral.

$e^{7 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{7 x}}{7} - (\frac{1}{7} \int \frac{e^{7 x}}{x} d x))$

Paso 7.5

Sea $u = 7 x$ . Entonces $d u = 7 d x$ , de modo que $\frac{1}{7} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 7.5.1

Deja $u = 7 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 7.5.1.1

Diferencia $7 x$ .

$\frac{d}{d x} [7 x]$

Paso 7.5.1.2

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7 x$ con respecto a $x$ es $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 7.5.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$7 \cdot 1$

Paso 7.5.1.4

Multiplica $7$ por $1$ .

$7$

Paso 7.5.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$e^{7 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{7 x}}{7} - \frac{1}{7} \int \frac{e^{u}}{\frac{u}{7}} \cdot \frac{1}{7} d u)$

Paso 7.6

Simplifica.

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Paso 7.6.1

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{u}{7}$ .

$e^{7 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{7 x}}{7} - \frac{1}{7} \int e^{u} \frac{7}{u} \frac{1}{7} d u)$

Paso 7.6.2

Combina $e^{u}$ y $\frac{7}{u}$ .

$e^{7 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{7 x}}{7} - \frac{1}{7} \int \frac{e^{u} \cdot 7}{u} \cdot \frac{1}{7} d u)$

Paso 7.6.3

Mueve $7$ a la izquierda de $e^{u}$ .

$e^{7 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{7 x}}{7} - \frac{1}{7} \int \frac{7 \cdot e^{u}}{u} \cdot \frac{1}{7} d u)$

Paso 7.6.4

Multiplica $\frac{7 e^{u}}{u}$ por $\frac{1}{7}$ .

$e^{7 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{7 x}}{7} - \frac{1}{7} \int \frac{7 e^{u}}{u \cdot 7} d u)$

Paso 7.6.5

Mueve $7$ a la izquierda de $u$ .

$e^{7 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{7 x}}{7} - \frac{1}{7} \int \frac{7 e^{u}}{7 \cdot u} d u)$

Paso 7.6.6

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 7.6.6.1

Cancela el factor común.

$e^{7 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{7 x}}{7} - \frac{1}{7} \int \frac{7 e^{u}}{7 u} d u)$

Paso 7.6.6.2

Reescribe la expresión.

$e^{7 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{7 x}}{7} - \frac{1}{7} \int \frac{e^{u}}{u} d u)$

Paso 7.7

$\int \frac{e^{u}}{u} d u$ es una integral especial. La integral es la función integral exponencial.

$e^{7 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{7 x}}{7} - \frac{1}{7} (E i (u) + C))$

Paso 7.8

Reescribe $- (\frac{\ln (x) e^{7 x}}{7} - \frac{1}{7} (E i (u) + C))$ como $- (\frac{\ln (x) e^{7 x}}{7} - \frac{E i (u)}{7}) + C$ .

$e^{7 x} y = - (\frac{1}{7} \ln (x) e^{7 x} - \frac{E i (u)}{7}) + C$

Paso 8

Resuelve $y$

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Paso 8.1

Simplifica.

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Paso 8.1.1

Multiplica $\frac{1}{7} (\ln (x) e^{7 x})$ .

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Paso 8.1.1.1

Combina $\ln (x)$ y $\frac{1}{7}$ .

$e^{7 x} y = - (\frac{\ln (x)}{7} e^{7 x} - \frac{E i (u)}{7}) + C$

Paso 8.1.1.2

Combina $\frac{\ln (x)}{7}$ y $e^{7 x}$ .

$e^{7 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{7 x}}{7} - \frac{E i (u)}{7}) + C$

$e^{7 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{7 x}}{7} - \frac{E i u}{7}) + C$

Paso 8.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$e^{7 x} y = - \frac{\ln (x) e^{7 x}}{7} - - \frac{E i u}{7} + C$

Paso 8.1.3

Multiplica $- - \frac{E i u}{7}$ .

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Paso 8.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$e^{7 x} y = - \frac{\ln (x) e^{7 x}}{7} + 1 \frac{E i u}{7} + C$

Paso 8.1.3.2

Multiplica $\frac{E i u}{7}$ por $1$ .

$e^{7 x} y = - \frac{\ln (x) e^{7 x}}{7} + \frac{E i u}{7} + C$

Paso 8.1.4

Reordena los factores en $- \frac{\ln (x) e^{7 x}}{7} + \frac{E i u}{7}$ .

$e^{7 x} y = - \frac{e^{7 x} \ln (x)}{7} + \frac{E i u}{7} + C$

Paso 8.2

Divide cada término en $e^{7 x} y = - \frac{e^{7 x} \ln (x)}{7} + \frac{E i u}{7} + C$ por $e^{7 x}$ y simplifica.

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Paso 8.2.1

Divide cada término en $e^{7 x} y = - \frac{e^{7 x} \ln (x)}{7} + \frac{E i u}{7} + C$ por $e^{7 x}$ .

$\frac{e^{7 x} y}{e^{7 x}} = \frac{- \frac{e^{7 x} \ln (x)}{7}}{e^{7 x}} + \frac{\frac{E i u}{7}}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

Paso 8.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.2.1

Cancela el factor común de $e^{7 x}$ .

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Paso 8.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{7 x} y}{e^{7 x}} = \frac{- \frac{e^{7 x} \ln (x)}{7}}{e^{7 x}} + \frac{\frac{E i u}{7}}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

Paso 8.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{- \frac{e^{7 x} \ln (x)}{7}}{e^{7 x}} + \frac{\frac{E i u}{7}}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

Paso 8.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.2.3.1.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$y = - \frac{e^{7 x} \ln (x)}{7} \cdot \frac{1}{e^{7 x}} + \frac{\frac{E i u}{7}}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

Paso 8.2.3.1.2

Cancela el factor común de $e^{7 x}$ .

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Paso 8.2.3.1.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{e^{7 x} \ln (x)}{7}$ al numerador.

$y = \frac{- e^{7 x} \ln (x)}{7} \cdot \frac{1}{e^{7 x}} + \frac{\frac{E i u}{7}}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

Paso 8.2.3.1.2.2

Factoriza $e^{7 x}$ de $- e^{7 x} \ln (x)$ .

$y = \frac{e^{7 x} (- 1 \ln (x))}{7} \cdot \frac{1}{e^{7 x}} + \frac{\frac{E i u}{7}}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

Paso 8.2.3.1.2.3

Cancela el factor común.

$y = \frac{e^{7 x} (- 1 \ln (x))}{7} \cdot \frac{1}{e^{7 x}} + \frac{\frac{E i u}{7}}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

Paso 8.2.3.1.2.4

Reescribe la expresión.

$y = \frac{- 1 \ln (x)}{7} + \frac{\frac{E i u}{7}}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

Paso 8.2.3.1.3

Reescribe $\frac{- 1 \ln (x)}{7}$ como $\frac{- 1}{7} \ln (x)$ .

$y = \frac{- 1}{7} \ln (x) + \frac{\frac{E i u}{7}}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

Paso 8.2.3.1.4

Simplifica $\frac{- 1}{7} \ln (x)$ al mover $- \frac{- 1}{7}$ dentro del algoritmo.

$y = - \ln (x^{- \frac{- 1}{7}}) + \frac{\frac{E i u}{7}}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

Paso 8.2.3.1.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \ln (x^{- - \frac{1}{7}}) + \frac{\frac{E i u}{7}}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

Paso 8.2.3.1.6

Multiplica $- - \frac{1}{7}$ .

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Paso 8.2.3.1.6.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$y = - \ln (x^{1 (\frac{1}{7})}) + \frac{\frac{E i u}{7}}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

Paso 8.2.3.1.6.2

Multiplica $\frac{1}{7}$ por $1$ .

$y = - \ln (x^{\frac{1}{7}}) + \frac{\frac{E i u}{7}}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

Paso 8.2.3.1.7

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$y = - \ln (x^{\frac{1}{7}}) + \frac{E i u}{7} \cdot \frac{1}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

Paso 8.2.3.1.8

Combinar.

$y = - \ln (x^{\frac{1}{7}}) + \frac{E i u \cdot 1}{7 e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

Paso 8.2.3.1.9

Multiplica $E$ por $1$ .

$y = - \ln (x^{\frac{1}{7}}) + \frac{E i u}{7 e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$