Cálculo Ejemplos

$x + 1 \frac{d y}{d x} = y + 10$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial como $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Paso 1.1

Reescribe la ecuación como $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ .

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Paso 1.1.1

Resta $y$ de ambos lados de la ecuación.

$x + 1 \frac{d y}{d x} - y = 10$

Paso 1.1.2

Resta $x$ de ambos lados de la ecuación.

$1 \frac{d y}{d x} - y = 10 - x$

Paso 1.1.3

Reordena los términos.

$1 \frac{d y}{d x} - y = - x + 10$

Paso 1.2

Multiplica $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} - y = - x + 10$

Paso 2

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = - 1$ .

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Paso 2.1

Establece la integración.

$e^{\int - 1 d x}$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$e^{- x + C}$

Paso 2.3

Elimina la constante de integración.

$e^{- x}$

Paso 3

Multiplica cada término por el factor integrador $e^{- x}$ .

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Paso 3.1

Multiplica cada término por $e^{- x}$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} + e^{- x} (- y) = e^{- x} (- x) + e^{- x} \cdot 10$

Paso 3.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{- x} (- x) + e^{- x} \cdot 10$

Paso 3.3

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = - e^{- x} x + e^{- x} \cdot 10$

Paso 3.3.2

Mueve $10$ a la izquierda de $e^{- x}$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = - e^{- x} x + 10 e^{- x}$

Paso 3.4

Reordena los factores en $e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = - e^{- x} x + 10 e^{- x}$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - y e^{- x} = - x e^{- x} + 10 e^{- x}$

Paso 4

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [e^{- x} y] = - x e^{- x} + 10 e^{- x}$

Paso 5

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- x} y] d x = \int - x e^{- x} + 10 e^{- x} d x$

Paso 6

Integra el lado izquierdo.

$e^{- x} y = \int - x e^{- x} + 10 e^{- x} d x$

Paso 7

Integra el lado derecho.

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Paso 7.1

Divide la única integral en varias integrales.

$e^{- x} y = \int - x e^{- x} d x + \int 10 e^{- x} d x$

Paso 7.2

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$e^{- x} y = - \int x e^{- x} d x + \int 10 e^{- x} d x$

Paso 7.3

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x$ y $d v = e^{- x}$ .

$e^{- x} y = - (x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x) + \int 10 e^{- x} d x$

Paso 7.4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$e^{- x} y = - (x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x) + \int 10 e^{- x} d x$

Paso 7.5

Simplifica.

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Paso 7.5.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$e^{- x} y = - (x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x) + \int 10 e^{- x} d x$

Paso 7.5.2

Multiplica $\int e^{- x} d x$ por $1$ .

$e^{- x} y = - (x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x) + \int 10 e^{- x} d x$

Paso 7.6

Sea $u_{1} = - x$ . Entonces $d u_{1} = - d x$ , de modo que $- d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 7.6.1

Deja $u_{1} = - x$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 7.6.1.1

Diferencia $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Paso 7.6.1.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Paso 7.6.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Paso 7.6.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 7.6.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$e^{- x} y = - (x (- e^{- x}) + \int - e^{u_{1}} d u_{1}) + \int 10 e^{- x} d x$

Paso 7.7

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$e^{- x} y = - (x (- e^{- x}) - \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int 10 e^{- x} d x$

Paso 7.8

La integral de $e^{u_{1}}$ con respecto a $u_{1}$ es $e^{u_{1}}$ .

$e^{- x} y = - (x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C)) + \int 10 e^{- x} d x$

Paso 7.9

Dado que $10$ es constante con respecto a $x$ , mueve $10$ fuera de la integral.

$e^{- x} y = - (x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C)) + 10 \int e^{- x} d x$

Paso 7.10

Sea $u_{2} = - x$ . Entonces $d u_{2} = - d x$ , de modo que $- d u_{2} = d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 7.10.1

Deja $u_{2} = - x$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 7.10.1.1

Diferencia $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Paso 7.10.1.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Paso 7.10.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Paso 7.10.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 7.10.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$e^{- x} y = - (x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C)) + 10 \int - e^{u_{2}} d u_{2}$

Paso 7.11

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$e^{- x} y = - (x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C)) + 10 (- \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Paso 7.12

Multiplica $- 1$ por $10$ .

$e^{- x} y = - (x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C)) - 10 \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Paso 7.13

La integral de $e^{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $e^{u_{2}}$ .

$e^{- x} y = - (x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C)) - 10 (e^{u_{2}} + C)$

Paso 7.14

Simplifica.

$e^{- x} y = - (- x e^{- x} - e^{u_{1}}) - 10 e^{u_{2}} + C$

Paso 7.15

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 7.15.1

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $- x$ .

$e^{- x} y = - (- x e^{- x} - e^{- x}) - 10 e^{u_{2}} + C$

Paso 7.15.2

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $- x$ .

$e^{- x} y = - (- x e^{- x} - e^{- x}) - 10 e^{- x} + C$

Paso 7.16

Simplifica.

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Paso 7.16.1

Aplica la propiedad distributiva.

$e^{- x} y = - (- x e^{- x}) - - e^{- x} - 10 e^{- x} + C$

Paso 7.16.2

Multiplica $- (- x e^{- x})$ .

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Paso 7.16.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$e^{- x} y = 1 (x e^{- x}) - - e^{- x} - 10 e^{- x} + C$

Paso 7.16.2.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$e^{- x} y = x e^{- x} - - e^{- x} - 10 e^{- x} + C$

Paso 7.16.3

Multiplica $- - e^{- x}$ .

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Paso 7.16.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$e^{- x} y = x e^{- x} + 1 e^{- x} - 10 e^{- x} + C$

Paso 7.16.3.2

Multiplica $e^{- x}$ por $1$ .

$e^{- x} y = x e^{- x} + e^{- x} - 10 e^{- x} + C$

Paso 7.16.4

Resta $10 e^{- x}$ de $e^{- x}$ .

$e^{- x} y = x e^{- x} - 9 e^{- x} + C$

Paso 8

Divide cada término en $e^{- x} y = x e^{- x} - 9 e^{- x} + C$ por $e^{- x}$ y simplifica.

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Paso 8.1

Divide cada término en $e^{- x} y = x e^{- x} - 9 e^{- x} + C$ por $e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{- 9 e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Paso 8.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.1

Cancela el factor común de $e^{- x}$ .

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Paso 8.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{- 9 e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Paso 8.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{- 9 e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Paso 8.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.3.1.1

Cancela el factor común de $e^{- x}$ .

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Paso 8.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$y = \frac{x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{- 9 e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Paso 8.3.1.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$y = x + \frac{- 9 e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Paso 8.3.1.2

Cancela el factor común de $e^{- x}$ .

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Paso 8.3.1.2.1

Cancela el factor común.

$y = x + \frac{- 9 e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Paso 8.3.1.2.2

Divide $- 9$ por $1$ .

$y = x - 9 + \frac{C}{e^{- x}}$