Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = 8 e^{- 5 x} - x^{2}$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d y = (8 e^{- 5 x} - x^{2}) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int 8 e^{- 5 x} - x^{2} d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int 8 e^{- 5 x} - x^{2} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$y + C_{1} = \int 8 e^{- 5 x} d x + \int - x^{2} d x$

Paso 2.3.2

Dado que $8$ es constante con respecto a $x$ , mueve $8$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = 8 \int e^{- 5 x} d x + \int - x^{2} d x$

Paso 2.3.3

Sea $u = - 5 x$ . Entonces $d u = - 5 d x$ , de modo que $- \frac{1}{5} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.3.3.1

Deja $u = - 5 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.3.3.1.1

Diferencia $- 5 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 5 x]$

Paso 2.3.3.1.2

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5 x$ con respecto a $x$ es $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.3.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 5 \cdot 1$

Paso 2.3.3.1.4

Multiplica $- 5$ por $1$ .

$- 5$

Paso 2.3.3.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$y + C_{1} = 8 \int e^{u} \frac{1}{- 5} d u + \int - x^{2} d x$

Paso 2.3.4

Simplifica.

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Paso 2.3.4.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y + C_{1} = 8 \int e^{u} (- \frac{1}{5}) d u + \int - x^{2} d x$

Paso 2.3.4.2

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{5}$ .

$y + C_{1} = 8 \int - \frac{e^{u}}{5} d u + \int - x^{2} d x$

Paso 2.3.5

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = 8 (- \int \frac{e^{u}}{5} d u) + \int - x^{2} d x$

Paso 2.3.6

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$y + C_{1} = - 8 \int \frac{e^{u}}{5} d u + \int - x^{2} d x$

Paso 2.3.7

Dado que $\frac{1}{5}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{5}$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = - 8 (\frac{1}{5} \int e^{u} d u) + \int - x^{2} d x$

Paso 2.3.8

Simplifica.

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Paso 2.3.8.1

Combina $\frac{1}{5}$ y $- 8$ .

$y + C_{1} = \frac{- 8}{5} \int e^{u} d u + \int - x^{2} d x$

Paso 2.3.8.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y + C_{1} = - \frac{8}{5} \int e^{u} d u + \int - x^{2} d x$

Paso 2.3.9

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$y + C_{1} = - \frac{8}{5} (e^{u} + C_{2}) + \int - x^{2} d x$

Paso 2.3.10

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = - \frac{8}{5} (e^{u} + C_{2}) - \int x^{2} d x$

Paso 2.3.11

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = - \frac{8}{5} (e^{u} + C_{2}) - (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3})$

Paso 2.3.12

Simplifica.

$y + C_{1} = - \frac{8}{5} e^{u} - \frac{1}{3} x^{3} + C_{4}$

Paso 2.3.13

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- 5 x$ .

$y + C_{1} = - \frac{8}{5} e^{- 5 x} - \frac{1}{3} x^{3} + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y = - \frac{8}{5} e^{- 5 x} - \frac{1}{3} x^{3} + K$