Cálculo Ejemplos

$(x + \sin (y) - \cos (y)) d x + x (\sin (y) + \cos (y)) d y = 0$

Paso 1

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = x + \sin (y) - \cos (y)$ .

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Paso 1.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x + \sin (y) - \cos (y)]$

Paso 1.2

Diferencia.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + \sin (y) - \cos (y)$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [\sin (y)] + \frac{d}{d y} [- \cos (y)]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [\sin (y)] + \frac{d}{d y} [- \cos (y)]$

Paso 1.2.2

Como $x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $x$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [\sin (y)] + \frac{d}{d y} [- \cos (y)]$

Paso 1.3

La derivada de $\sin (y)$ con respecto a $y$ es $\cos (y)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \cos (y) + \frac{d}{d y} [- \cos (y)]$

Paso 1.4

Evalúa $\frac{d}{d y} [- \cos (y)]$ .

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Paso 1.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- \cos (y)$ con respecto a $y$ es $- \frac{d}{d y} [\cos (y)]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \cos (y) - \frac{d}{d y} [\cos (y)]$

Paso 1.4.2

La derivada de $\cos (y)$ con respecto a $y$ es $- \sin (y)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \cos (y) - - \sin (y)$

Paso 1.4.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \cos (y) + 1 \sin (y)$

Paso 1.4.4

Multiplica $\sin (y)$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \cos (y) + \sin (y)$

Paso 1.5

Suma $0$ y $\cos (y)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (y) + \sin (y)$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = x (\sin (y) + \cos (y))$ .

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Paso 2.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x (\sin (y) + \cos (y))]$

Paso 2.2

Como $\sin (y) + \cos (y)$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $x (\sin (y) + \cos (y))$ con respecto a $x$ es $(\sin (y) + \cos (y)) \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = (\sin (y) + \cos (y)) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = (\sin (y) + \cos (y)) \cdot 1$

Paso 2.4

Multiplica $\sin (y) + \cos (y)$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \sin (y) + \cos (y)$

Paso 3

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 3.1

Sustituye $\cos (y) + \sin (y)$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $\sin (y) + \cos (y)$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\cos (y) + \sin (y) = \sin (y) + \cos (y)$

Paso 3.2

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$\cos (y) + \sin (y) = \sin (y) + \cos (y)$ es una identidad.

Paso 4

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x (\sin (y) + \cos (y)) d y$

Paso 5

Integra $N (x, y) = x (\sin (y) + \cos (y))$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 5.1

Dado que $x$ es constante con respecto a $y$ , mueve $x$ fuera de la integral.

$f (x, y) = x \int \sin (y) + \cos (y) d y$

Paso 5.2

Divide la única integral en varias integrales.

$f (x, y) = x (\int \sin (y) d y + \int \cos (y) d y)$

Paso 5.3

La integral de $\sin (y)$ con respecto a $y$ es $- \cos (y)$ .

$f (x, y) = x (- \cos (y) + C + \int \cos (y) d y)$

Paso 5.4

La integral de $\cos (y)$ con respecto a $y$ es $\sin (y)$ .

$f (x, y) = x (- \cos (y) + C + \sin (y) + C)$

Paso 5.5

Simplifica.

$f (x, y) = x (- \cos (y) + \sin (y)) + C$

Paso 6

Como la integral de $g (x)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = x (- \cos (y) + \sin (y)) + g (x)$

Paso 7

Establece $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = x + \sin (y) - \cos (y)$

Paso 8

Obtén $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Paso 8.1

Diferencia $f$ con respecto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [x (- \cos (y) + \sin (y)) + g (x)] = x + \sin (y) - \cos (y)$

Paso 8.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x (- \cos (y) + \sin (y)) + g (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x (- \cos (y) + \sin (y))] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x (- \cos (y) + \sin (y))] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + \sin (y) - \cos (y)$

Paso 8.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [x (- \cos (y) + \sin (y))]$ .

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Paso 8.3.1

Como $- \cos (y) + \sin (y)$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $x (- \cos (y) + \sin (y))$ con respecto a $x$ es $(- \cos (y) + \sin (y)) \frac{d}{d x} [x]$ .

$(- \cos (y) + \sin (y)) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + \sin (y) - \cos (y)$

Paso 8.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$(- \cos (y) + \sin (y)) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + \sin (y) - \cos (y)$

Paso 8.3.3

Multiplica $- \cos (y) + \sin (y)$ por $1$ .

$- \cos (y) + \sin (y) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + \sin (y) - \cos (y)$

Paso 8.4

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (x)$ es $\frac{d g}{d x}$ .

$- \cos (y) + \sin (y) + \frac{d g}{d x} = x + \sin (y) - \cos (y)$

Paso 8.5

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d x} - \cos (y) + \sin (y) = x + \sin (y) - \cos (y)$

Paso 9

Resuelve $\frac{d g}{d x}$

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Paso 9.1

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d g}{d x}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 9.1.1

Suma $\cos (y)$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d x} + \sin (y) = x + \sin (y) - \cos (y) + \cos (y)$

Paso 9.1.2

Resta $\sin (y)$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d x} = x + \sin (y) - \cos (y) + \cos (y) - \sin (y)$

Paso 9.1.3

Combina los términos opuestos en $x + \sin (y) - \cos (y) + \cos (y) - \sin (y)$ .

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Paso 9.1.3.1

Suma $- \cos (y)$ y $\cos (y)$ .

$\frac{d g}{d x} = x + \sin (y) + 0 - \sin (y)$

Paso 9.1.3.2

Suma $x + \sin (y)$ y $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x + \sin (y) - \sin (y)$

Paso 9.1.3.3

Resta $\sin (y)$ de $\sin (y)$ .

$\frac{d g}{d x} = x + 0$

Paso 9.1.3.4

Suma $x$ y $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x$

Paso 10

Obtén la antiderivada de $x$ y obtén $g (x)$ .

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Paso 10.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d x} = x$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x d x$

Paso 10.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x d x$

Paso 10.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Paso 11

Sustituye por $g (x)$ en $f (x, y) = x (- \cos (y) + \sin (y)) + g (x)$ .

$f (x, y) = x (- \cos (y) + \sin (y)) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Paso 12

Simplifica cada término.

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Paso 12.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x, y) = x (- \cos (y)) + x \sin (y) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Paso 12.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f (x, y) = - x \cos (y) + x \sin (y) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Paso 12.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$f (x, y) = - x \cos (y) + x \sin (y) + \frac{x^{2}}{2} + C$