Cálculo Ejemplos

$2 \frac{d y}{d x} - 10 x y - 5 x = 0$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Resuelve $\frac{d y}{d x}$

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Paso 1.1.1

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d y}{d x}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.1.1.1

Suma $10 x y$ a ambos lados de la ecuación.

$2 \frac{d y}{d x} - 5 x = 10 x y$

Paso 1.1.1.2

Suma $5 x$ a ambos lados de la ecuación.

$2 \frac{d y}{d x} = 10 x y + 5 x$

Paso 1.1.2

Divide cada término en $2 \frac{d y}{d x} = 10 x y + 5 x$ por $2$ y simplifica.

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Paso 1.1.2.1

Divide cada término en $2 \frac{d y}{d x} = 10 x y + 5 x$ por $2$ .

$\frac{2 \frac{d y}{d x}}{2} = \frac{10 x y}{2} + \frac{5 x}{2}$

Paso 1.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \frac{d y}{d x}}{2} = \frac{10 x y}{2} + \frac{5 x}{2}$

Paso 1.1.2.2.1.2

Divide $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{10 x y}{2} + \frac{5 x}{2}$

Paso 1.1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.2.3.1

Cancela el factor común de $10$ y $2$ .

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Paso 1.1.2.3.1.1

Factoriza $2$ de $10 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 (5 x y)}{2} + \frac{5 x}{2}$

Paso 1.1.2.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.2.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 (5 x y)}{2 (1)} + \frac{5 x}{2}$

Paso 1.1.2.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 (5 x y)}{2 \cdot 1} + \frac{5 x}{2}$

Paso 1.1.2.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 x y}{1} + \frac{5 x}{2}$

Paso 1.1.2.3.1.2.4

Divide $5 x y$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = 5 x y + \frac{5 x}{2}$

Paso 1.2

Factoriza.

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Paso 1.2.1

Factoriza $5 x$ de $5 x y + \frac{5 x}{2}$ .

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Paso 1.2.1.1

Factoriza $5 x$ de $5 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = 5 x (y) + \frac{5 x}{2}$

Paso 1.2.1.2

Factoriza $5 x$ de $\frac{5 x}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = 5 x (y) + 5 x \frac{1}{2}$

Paso 1.2.1.3

Factoriza $5 x$ de $5 x (y) + 5 x \frac{1}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = 5 x (y + \frac{1}{2})$

Paso 1.2.2

Para escribir $y$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = 5 x (y \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2})$

Paso 1.2.3

Combina $y$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = 5 x (\frac{y \cdot 2}{2} + \frac{1}{2})$

Paso 1.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d y}{d x} = 5 x \frac{y \cdot 2 + 1}{2}$

Paso 1.2.5

Mueve $2$ a la izquierda de $y$ .

$\frac{d y}{d x} = 5 x \frac{2 y + 1}{2}$

Paso 1.2.6

Combina exponentes.

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Paso 1.2.6.1

Combina $5$ y $\frac{2 y + 1}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{5 (2 y + 1)}{2}$

Paso 1.2.6.2

Combina $x$ y $\frac{5 (2 y + 1)}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (5 (2 y + 1))}{2}$

Paso 1.2.7

Elimina los paréntesis innecesarios.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 5 (2 y + 1)}{2}$

Paso 1.2.8

Mueve $5$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 \cdot x (2 y + 1)}{2}$

Paso 1.2.9

Multiplica $5$ por $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 x (2 y + 1)}{2}$

Paso 1.3

Reagrupa los factores.

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 x}{2} (2 y + 1)$

Paso 1.4

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{2 y + 1}$ .

$\frac{1}{2 y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y + 1} (\frac{5 x}{2} (2 y + 1))$

Paso 1.5

Cancela el factor común de $2 y + 1$ .

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Paso 1.5.1

Factoriza $2 y + 1$ de $\frac{5 x}{2} (2 y + 1)$ .

$\frac{1}{2 y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y + 1} ((2 y + 1) \frac{5 x}{2})$

Paso 1.5.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2 y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y + 1} ((2 y + 1) \frac{5 x}{2})$

Paso 1.5.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2 y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{5 x}{2}$

Paso 1.6

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{2 y + 1} d y = \frac{5 x}{2} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{2 y + 1} d y = \int \frac{5 x}{2} d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Sea $u = 2 y + 1$ . Entonces $d u = 2 d y$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d y$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.2.1.1

Deja $u = 2 y + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d y}$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Diferencia $2 y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [2 y + 1]$

Paso 2.2.1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 y + 1$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [1]$

Paso 2.2.1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

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Paso 2.2.1.1.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $2 y$ con respecto a $y$ es $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Paso 2.2.1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1]$

Paso 2.2.1.1.3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d y} [1]$

Paso 2.2.1.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.2.1.1.4.1

Como $1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $1$ con respecto a $y$ es $0$ .

$2 + 0$

Paso 2.2.1.1.4.2

Suma $2$ y $0$ .

$2$

Paso 2.2.1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int \frac{5 x}{2} d x$

Paso 2.2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.2.1

Multiplica $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{5 x}{2} d x$

Paso 2.2.2.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u$ .

$\int \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{5 x}{2} d x$

Paso 2.2.3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{5 x}{2} d x$

Paso 2.2.4

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{5 x}{2} d x$

Paso 2.2.5

Simplifica.

$\frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{5 x}{2} d x$

Paso 2.2.6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 y + 1$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 1 |) + C_{1} = \int \frac{5 x}{2} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $\frac{5}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{5}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 1 |) + C_{1} = \frac{5}{2} \int x d x$

Paso 2.3.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 1 |) + C_{1} = \frac{5}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Paso 2.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.3.3.1

Reescribe $\frac{5}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ como $\frac{5}{2} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 1 |) + C_{1} = \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2

Simplifica.

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Paso 2.3.3.2.1

Multiplica $\frac{5}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 1 |) + C_{1} = \frac{5}{2 \cdot 2} x^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 1 |) + C_{1} = \frac{5}{4} x^{2} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 1 |) = \frac{5}{4} x^{2} + C$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 1 |)) = 2 (\frac{5}{4} x^{2} + C)$

Paso 3.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1.1

Simplifica $2 (\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 1 |))$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $\ln (| 2 y + 1 |)$ .

$2 \frac{\ln (| 2 y + 1 |)}{2} = 2 (\frac{5}{4} x^{2} + C)$

Paso 3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{\ln (| 2 y + 1 |)}{2} = 2 (\frac{5}{4} x^{2} + C)$

Paso 3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$\ln (| 2 y + 1 |) = 2 (\frac{5}{4} x^{2} + C)$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica $2 (\frac{5}{4} x^{2} + C)$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Combina $\frac{5}{4}$ y $x^{2}$ .

$\ln (| 2 y + 1 |) = 2 (\frac{5 x^{2}}{4} + C)$

Paso 3.2.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (| 2 y + 1 |) = 2 \frac{5 x^{2}}{4} + 2 C$

Paso 3.2.2.1.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.2.1.3.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\ln (| 2 y + 1 |) = 2 \frac{5 x^{2}}{2 (2)} + 2 C$

Paso 3.2.2.1.3.2

Cancela el factor común.

$\ln (| 2 y + 1 |) = 2 \frac{5 x^{2}}{2 \cdot 2} + 2 C$

Paso 3.2.2.1.3.3

Reescribe la expresión.

$\ln (| 2 y + 1 |) = \frac{5 x^{2}}{2} + 2 C$

Paso 3.3

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (| 2 y + 1 |)} = e^{\frac{5 x^{2}}{2} + 2 C}$

Paso 3.4

Reescribe $\ln (| 2 y + 1 |) = \frac{5 x^{2}}{2} + 2 C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{5 x^{2}}{2} + 2 C} = | 2 y + 1 |$

Paso 3.5

Resuelve $y$

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Paso 3.5.1

Reescribe la ecuación como $| 2 y + 1 | = e^{\frac{5 x^{2}}{2} + 2 C}$ .

$| 2 y + 1 | = e^{\frac{5 x^{2}}{2} + 2 C}$

Paso 3.5.2

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$2 y + 1 = \pm e^{\frac{5 x^{2}}{2} + 2 C}$

Paso 3.5.3

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$2 y = \pm e^{\frac{5 x^{2}}{2} + 2 C} - 1$

Paso 3.5.4

Divide cada término en $2 y = \pm e^{\frac{5 x^{2}}{2} + 2 C} - 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 3.5.4.1

Divide cada término en $2 y = \pm e^{\frac{5 x^{2}}{2} + 2 C} - 1$ por $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\pm e^{\frac{5 x^{2}}{2} + 2 C}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Paso 3.5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.4.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.5.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\pm e^{\frac{5 x^{2}}{2} + 2 C}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Paso 3.5.4.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\pm e^{\frac{5 x^{2}}{2} + 2 C}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Paso 3.5.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.5.4.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.5.4.3.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.5.4.3.1.1.1

Para escribir $2 C$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{\pm e^{\frac{5 x^{2}}{2} + 2 C \cdot \frac{2}{2}}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Paso 3.5.4.3.1.1.2

Combina $2 C$ y $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{\pm e^{\frac{5 x^{2}}{2} + \frac{2 C \cdot 2}{2}}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Paso 3.5.4.3.1.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{\pm e^{\frac{5 x^{2} + 2 C \cdot 2}{2}}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Paso 3.5.4.3.1.1.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$y = \frac{\pm e^{\frac{5 x^{2} + 4 C}{2}}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Paso 3.5.4.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = \frac{\pm e^{\frac{5 x^{2} + 4 C}{2}}}{2} - \frac{1}{2}$

Paso 3.5.4.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{\pm e^{\frac{5 x^{2} + 4 C}{2}} - 1}{2}$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = \frac{\pm e^{\frac{5 x^{2} + C}{2}} - 1}{2}$