Cálculo Ejemplos

$x \frac{d y}{d x} + y = \frac{1}{x^{2}}$

Paso 1

Comprueba si el lado izquierdo de la ecuación es el resultado de la derivada del término $x y$ .

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Paso 1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1$

Paso 1.4

Sustituye $\frac{d y}{d x}$ por $y'$ .

$x \frac{d y}{d x} + y \cdot 1$

Paso 1.5

Reordena $y$ y $1$ .

$x \frac{d y}{d x} + 1 \cdot y$

Paso 1.6

Multiplica $y$ por $1$ .

$x \frac{d y}{d x} + y$

Paso 2

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [x y] = \frac{1}{x^{2}}$

Paso 3

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 4

Integra el lado izquierdo.

$x y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 5

Integra el lado derecho.

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Paso 5.1

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 5.1.1

Mueve $x^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$x y = \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Paso 5.1.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 5.1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x y = \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Paso 5.1.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$x y = \int x^{- 2} d x$

Paso 5.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 2}$ con respecto a $x$ es $- x^{- 1}$ .

$x y = - x^{- 1} + C$

Paso 5.3

Reescribe $- x^{- 1} + C$ como $- \frac{1}{x} + C$ .

$x y = - \frac{1}{x} + C$

Paso 6

Divide cada término en $x y = - \frac{1}{x} + C$ por $x$ y simplifica.

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Paso 6.1

Divide cada término en $x y = - \frac{1}{x} + C$ por $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{- \frac{1}{x}}{x} + \frac{C}{x}$

Paso 6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 6.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x y}{x} = \frac{- \frac{1}{x}}{x} + \frac{C}{x}$

Paso 6.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{- \frac{1}{x}}{x} + \frac{C}{x}$

Paso 6.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.3.1.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$y = - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} + \frac{C}{x}$

Paso 6.3.1.2

Multiplica $- \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}$ .

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Paso 6.3.1.2.1

Multiplica $\frac{1}{x}$ por $\frac{1}{x}$ .

$y = - \frac{1}{x \cdot x} + \frac{C}{x}$

Paso 6.3.1.2.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$y = - \frac{1}{x^{1} x} + \frac{C}{x}$

Paso 6.3.1.2.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$y = - \frac{1}{x^{1} x^{1}} + \frac{C}{x}$

Paso 6.3.1.2.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = - \frac{1}{x^{1 + 1}} + \frac{C}{x}$

Paso 6.3.1.2.5

Suma $1$ y $1$ .

$y = - \frac{1}{x^{2}} + \frac{C}{x}$