Cálculo Ejemplos

$\cos^{2} (x) \sin (x) \frac{d y}{d x} + (\cos^{3} (x)) y = 1$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial como $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Paso 1.1

Reordena los términos.

$\cos^{2} (x) \sin (x) \frac{d y}{d x} + y \cos^{3} (x) = 1$

Paso 1.2

Factoriza $y$ de $y \cos^{3} (x)$ .

$\cos^{2} (x) \sin (x) \frac{d y}{d x} + y (\cos^{3} (x)) = 1$

Paso 1.3

Reordena $y$ y $\cos^{3} (x)$ .

$\cos^{2} (x) \sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos^{3} (x) y = 1$

Paso 1.4

Divide cada término en $\cos^{2} (x) \sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos^{3} (x) y = 1$ por $\cos^{2} (x) \sin (x)$ .

$\frac{\cos^{2} (x) \sin (x) \frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x) \sin (x)} + \frac{\cos^{3} (x) y}{\cos^{2} (x) \sin (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

Paso 1.5

Cancela el factor común de $\cos^{2} (x)$ .

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Paso 1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{\cos^{2} (x) \sin (x) \frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x) \sin (x)} + \frac{\cos^{3} (x) y}{\cos^{2} (x) \sin (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

Paso 1.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\sin (x) \frac{d y}{d x}}{\sin (x)} + \frac{\cos^{3} (x) y}{\cos^{2} (x) \sin (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

Paso 1.6

Cancela el factor común de $\sin (x)$ .

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Paso 1.6.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sin (x) \frac{d y}{d x}}{\sin (x)} + \frac{\cos^{3} (x) y}{\cos^{2} (x) \sin (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

Paso 1.6.2

Divide $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{\cos^{3} (x) y}{\cos^{2} (x) \sin (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

Paso 1.7

Cancela el factor común de $\cos^{3} (x)$ y $\cos^{2} (x)$ .

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Paso 1.7.1

Factoriza $\cos^{2} (x)$ de $\cos^{3} (x) y$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{\cos^{2} (x) (\cos (x) y)}{\cos^{2} (x) \sin (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

Paso 1.7.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.7.2.1

Factoriza $\cos^{2} (x)$ de $\cos^{2} (x) \sin (x)$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{\cos^{2} (x) (\cos (x) y)}{\cos^{2} (x) (\sin (x))} = \frac{1}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

Paso 1.7.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} + \frac{\cos^{2} (x) (\cos (x) y)}{\cos^{2} (x) \sin (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

Paso 1.7.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{d y}{d x} + \frac{\cos (x) y}{\sin (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

Paso 1.8

Factoriza $y$ de $\frac{\cos (x) y}{\sin (x)}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

Paso 1.9

Reordena $y$ y $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} y = \frac{1}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

Paso 2

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

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Paso 2.1

Establece la integración.

$e^{\int \frac{\cos (x)}{\sin (x)} d x}$

Paso 2.2

Integra $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

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Paso 2.2.1

Convierte de $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ a $\cot (x)$ .

$e^{\int \cot (x) d x}$

Paso 2.2.2

La integral de $\cot (x)$ con respecto a $x$ es $\ln (| \sin (x) |)$ .

$e^{\ln (| \sin (x) |) + C}$

Paso 2.3

Elimina la constante de integración.

$e^{\ln (\sin (x))}$

Paso 2.4

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$\sin (x)$

Paso 3

Multiplica cada término por el factor integrador $\sin (x)$ .

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Paso 3.1

Multiplica cada término por $\sin (x)$ .

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \sin (x) (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} y) = \sin (x) \frac{1}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

Paso 3.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1

Convierte de $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ a $\cot (x)$ .

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \sin (x) (\cot (x) y) = \sin (x) \frac{1}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

Paso 3.2.2

Reescribe en términos de senos y cosenos, luego, cancela los factores comunes.

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Paso 3.2.2.1

Reordena $\sin (x)$ y $\cot (x)$ .

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cot (x) \sin (x) y = \sin (x) \frac{1}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

Paso 3.2.2.2

Reescribe $\sin (x) (\cot (x) y)$ en términos de senos y cosenos.

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \sin (x) y = \sin (x) \frac{1}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

Paso 3.2.2.3

Cancela los factores comunes.

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) y = \sin (x) \frac{1}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

Paso 3.3

Cancela el factor común de $\sin (x)$ .

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Paso 3.3.1

Factoriza $\sin (x)$ de $\cos^{2} (x) \sin (x)$ .

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) y = \sin (x) \frac{1}{\sin (x) \cos^{2} (x)}$

Paso 3.3.2

Cancela el factor común.

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) y = \sin (x) \frac{1}{\sin (x) \cos^{2} (x)}$

Paso 3.3.3

Reescribe la expresión.

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) y = \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Paso 3.4

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) y = \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

Paso 3.5

Reescribe $\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$ como ${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$ .

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) y = {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

Paso 3.6

Convierte de $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) y = \sec^{2} (x)$

Paso 3.7

Reordena los factores en $\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) y = \sec^{2} (x)$ .

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + y \cos (x) = \sec^{2} (x)$

Paso 4

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [\sin (x) y] = \sec^{2} (x)$

Paso 5

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [\sin (x) y] d x = \int \sec^{2} (x) d x$

Paso 6

Integra el lado izquierdo.

$\sin (x) y = \int \sec^{2} (x) d x$

Paso 7

Como la derivada de $\tan (x)$ es $\sec^{2} (x)$ , la integral de $\sec^{2} (x)$ es $\tan (x)$ .

$\sin (x) y = \tan (x) + C$

Paso 8

Divide cada término en $\sin (x) y = \tan (x) + C$ por $\sin (x)$ y simplifica.

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Paso 8.1

Divide cada término en $\sin (x) y = \tan (x) + C$ por $\sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) y}{\sin (x)} = \frac{\tan (x)}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Paso 8.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.1

Cancela el factor común de $\sin (x)$ .

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Paso 8.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sin (x) y}{\sin (x)} = \frac{\tan (x)}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Paso 8.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\tan (x)}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Paso 8.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.3.1.1

Reescribe $\tan (x)$ en términos de senos y cosenos.

$y = \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Paso 8.3.1.2

Reescribe $\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\sin (x)}$ como un producto.

$y = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Paso 8.3.1.3

Cancela el factor común de $\sin (x)$ .

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Paso 8.3.1.3.1

Cancela el factor común.

$y = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Paso 8.3.1.3.2

Reescribe la expresión.

$y = \frac{1}{\cos (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Paso 8.3.2

Simplifica cada término.

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Paso 8.3.2.1

Convierte de $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$y = \sec (x) + \frac{C}{\sin (x)}$

Paso 8.3.2.2

Separa las fracciones.

$y = \sec (x) + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

Paso 8.3.2.3

Convierte de $\frac{1}{\sin (x)}$ a $\csc (x)$ .

$y = \sec (x) + \frac{C}{1} \csc (x)$

Paso 8.3.2.4

Divide $C$ por $1$ .

$y = \sec (x) + C \csc (x)$