Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{3}}{y^{2}}$ , $y (2) = 3$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x^{3}}{y^{2}}$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $y^{2}$ .

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x^{3}}{y^{2}}$

Paso 1.2.2

Reescribe la expresión.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = x^{3}$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$y^{2} d y = x^{3} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int y^{2} d y = \int x^{3} d x$

Paso 2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int x^{3} d x$

Paso 2.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = \frac{1}{4} x^{4} + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (\frac{1}{4} x^{4} + K)$

Paso 3.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1.1

Simplifica $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{4} x^{4} + K)$

Paso 3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{4} x^{4} + K)$

Paso 3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y^{3} = 3 (\frac{1}{4} x^{4} + K)$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica $3 (\frac{1}{4} x^{4} + K)$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Combina $\frac{1}{4}$ y $x^{4}$ .

$y^{3} = 3 (\frac{x^{4}}{4} + K)$

Paso 3.2.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{3} = 3 \frac{x^{4}}{4} + 3 K$

Paso 3.2.2.1.3

Combina $3$ y $\frac{x^{4}}{4}$ .

$y^{3} = \frac{3 x^{4}}{4} + 3 K$

Paso 3.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \sqrt[3]{\frac{3 x^{4}}{4} + 3 K}$

Paso 3.4

Simplifica $\sqrt[3]{\frac{3 x^{4}}{4} + 3 K}$ .

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Paso 3.4.1

Factoriza $3$ de $\frac{3 x^{4}}{4} + 3 K$ .

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Paso 3.4.1.1

Factoriza $3$ de $\frac{3 x^{4}}{4}$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{x^{4}}{4} + 3 K}$

Paso 3.4.1.2

Factoriza $3$ de $3 K$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{x^{4}}{4} + 3 K}$

Paso 3.4.1.3

Factoriza $3$ de $3 \frac{x^{4}}{4} + 3 K$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{x^{4}}{4} + K)}$

Paso 3.4.2

Para escribir $K$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{x^{4}}{4} + K \cdot \frac{4}{4})}$

Paso 3.4.3

Simplifica los términos.

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Paso 3.4.3.1

Combina $K$ y $\frac{4}{4}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{x^{4}}{4} + \frac{K \cdot 4}{4})}$

Paso 3.4.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \sqrt[3]{3 \frac{x^{4} + K \cdot 4}{4}}$

Paso 3.4.4

Mueve $4$ a la izquierda de $K$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{x^{4} + 4 K}{4}}$

Paso 3.4.5

Combina $3$ y $\frac{x^{4} + 4 K}{4}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{3 (x^{4} + 4 K)}{4}}$

Paso 3.4.6

Reescribe $\sqrt[3]{\frac{3 (x^{4} + 4 K)}{4}}$ como $\frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)}}{\sqrt[3]{4}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)}}{\sqrt[3]{4}}$

Paso 3.4.7

Multiplica $\frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)}}{\sqrt[3]{4}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)}}{\sqrt[3]{4}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Paso 3.4.8

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 3.4.8.1

Multiplica $\frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)}}{\sqrt[3]{4}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Paso 3.4.8.2

Eleva $\sqrt[3]{4}$ a la potencia de $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Paso 3.4.8.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1 + 2}}$

Paso 3.4.8.4

Suma $1$ y $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{3}}$

Paso 3.4.8.5

Reescribe ${\sqrt[3]{4}}^{3}$ como $4$ .

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Paso 3.4.8.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{4}$ como $4^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{(4^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Paso 3.4.8.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Paso 3.4.8.5.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Paso 3.4.8.5.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.4.8.5.4.1

Cancela el factor común.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Paso 3.4.8.5.4.2

Reescribe la expresión.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{1}}$

Paso 3.4.8.5.5

Evalúa el exponente.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4}$

Paso 3.4.9

Simplifica el numerador.

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Paso 3.4.9.1

Reescribe ${\sqrt[3]{4}}^{2}$ como $\sqrt[3]{4^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} \sqrt[3]{4^{2}}}{4}$

Paso 3.4.9.2

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} \sqrt[3]{16}}{4}$

Paso 3.4.9.3

Reescribe $16$ como $2^{3} \cdot 2$ .

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Paso 3.4.9.3.1

Factoriza $8$ de $16$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} \sqrt[3]{8 (2)}}{4}$

Paso 3.4.9.3.2

Reescribe $8$ como $2^{3}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} \sqrt[3]{2^{3} \cdot 2}}{4}$

Paso 3.4.9.4

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} \cdot 2 \sqrt[3]{2}}{4}$

Paso 3.4.9.5

Combina exponentes.

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Paso 3.4.9.5.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$y = \frac{2 \sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K) \cdot 2}}{4}$

Paso 3.4.9.5.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$y = \frac{2 \sqrt[3]{6 (x^{4} + 4 K)}}{4}$

Paso 3.4.10

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.4.10.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$y = \frac{2 \sqrt[3]{6 (x^{4} + 4 K)}}{2 \cdot 2}$

Paso 3.4.10.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{2 \sqrt[3]{6 (x^{4} + 4 K)}}{2 \cdot 2}$

Paso 3.4.10.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{\sqrt[3]{6 (x^{4} + 4 K)}}{2}$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = \frac{\sqrt[3]{6 (x^{4} + K)}}{2}$

Paso 5

Usa la condición inicial para obtener el valor de $K$ mediante la sustitución de $2$ por $x$ y de $3$ por $y$ en $y = \frac{\sqrt[3]{6 (x^{4} + K)}}{2}$ .

$3 = \frac{\sqrt[3]{6 (2^{4} + K)}}{2}$

Paso 6

Resuelve $K$

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Paso 6.1

Reescribe la ecuación como $\frac{\sqrt[3]{6 (2^{4} + K)}}{2} = 3$ .

$\frac{\sqrt[3]{6 (2^{4} + K)}}{2} = 3$

Paso 6.2

Multiplica ambos lados por $2$ .

$\frac{\sqrt[3]{6 (2^{4} + K)}}{2} \cdot 2 = 3 \cdot 2$

Paso 6.3

Simplifica.

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Paso 6.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.1.1

Simplifica $\frac{\sqrt[3]{6 (2^{4} + K)}}{2} \cdot 2$ .

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Paso 6.3.1.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$\frac{\sqrt[3]{6 (16 + K)}}{2} \cdot 2 = 3 \cdot 2$

Paso 6.3.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.3.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt[3]{6 (16 + K)}}{2} \cdot 2 = 3 \cdot 2$

Paso 6.3.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt[3]{6 (16 + K)} = 3 \cdot 2$

Paso 6.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.2.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$\sqrt[3]{6 (16 + K)} = 6$

Paso 6.4

Resuelve $K$

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Paso 6.4.1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cubo ambos lados de la ecuación.

${\sqrt[3]{6 (16 + K)}}^{3} = 6^{3}$

Paso 6.4.2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 6.4.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{6 (16 + K)}$ como ${(6 (16 + K))}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(6 (16 + K))}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 6^{3}$

Paso 6.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.4.2.2.1

Simplifica ${({(6 (16 + K))}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 6.4.2.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(6 (16 + K))}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 6.4.2.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(6 (16 + K))}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 6^{3}$

Paso 6.4.2.2.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.4.2.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(6 (16 + K))}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 6^{3}$

Paso 6.4.2.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(6 (16 + K))}^{1} = 6^{3}$

Paso 6.4.2.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

${(6 \cdot 16 + 6 K)}^{1} = 6^{3}$

Paso 6.4.2.2.1.3

Multiplica.

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Paso 6.4.2.2.1.3.1

Multiplica $6$ por $16$ .

${(96 + 6 K)}^{1} = 6^{3}$

Paso 6.4.2.2.1.3.2

Simplifica.

$96 + 6 K = 6^{3}$

Paso 6.4.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.4.2.3.1

Eleva $6$ a la potencia de $3$ .

$96 + 6 K = 216$

Paso 6.4.3

Resuelve $K$

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Paso 6.4.3.1

Mueve todos los términos que no contengan $K$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 6.4.3.1.1

Resta $96$ de ambos lados de la ecuación.

$6 K = 216 - 96$

Paso 6.4.3.1.2

Resta $96$ de $216$ .

$6 K = 120$

Paso 6.4.3.2

Divide cada término en $6 K = 120$ por $6$ y simplifica.

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Paso 6.4.3.2.1

Divide cada término en $6 K = 120$ por $6$ .

$\frac{6 K}{6} = \frac{120}{6}$

Paso 6.4.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.4.3.2.2.1

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 6.4.3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{6 K}{6} = \frac{120}{6}$

Paso 6.4.3.2.2.1.2

Divide $K$ por $1$ .

$K = \frac{120}{6}$

Paso 6.4.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.4.3.2.3.1

Divide $120$ por $6$ .

$K = 20$

Paso 7

Sustituye $20$ por $K$ en $y = \frac{\sqrt[3]{6 (x^{4} + K)}}{2}$ y simplifica.

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Paso 7.1

Sustituye $20$ por $K$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{6 (x^{4} + 20)}}{2}$