Cálculo Ejemplos

$x d x - y d y = 0$

Paso 1

Resta $x d x$ de ambos lados de la ecuación.

$- y d y = - x d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int - y d y = \int - x d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int y d y = \int - x d x$

Paso 2.2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$- (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) = \int - x d x$

Paso 2.2.3

Reescribe $- (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1})$ como $- \frac{1}{2} y^{2} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - x d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int x d x$

Paso 2.3.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- \frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Paso 2.3.3

Reescribe $- (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ como $- \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$ .

$- \frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$- \frac{1}{2} y^{2} = - \frac{1}{2} x^{2} + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $- 2$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} y^{2}) = - 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + K)$

Paso 3.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1.1

Simplifica $- 2 (- \frac{1}{2} y^{2})$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Combina $y^{2}$ y $\frac{1}{2}$ .

$- 2 (- \frac{y^{2}}{2}) = - 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + K)$

Paso 3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1.1.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{y^{2}}{2}$ al numerador.

$- 2 \frac{- y^{2}}{2} = - 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + K)$

Paso 3.2.1.1.2.2

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- y^{2}}{2} = - 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + K)$

Paso 3.2.1.1.2.3

Cancela el factor común.

$2 \cdot - 1 \frac{- y^{2}}{2} = - 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + K)$

Paso 3.2.1.1.2.4

Reescribe la expresión.

$- - y^{2} = - 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + K)$

Paso 3.2.1.1.3

Multiplica.

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Paso 3.2.1.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 y^{2} = - 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + K)$

Paso 3.2.1.1.3.2

Multiplica $y^{2}$ por $1$ .

$y^{2} = - 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + K)$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica $- 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + K)$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Combina $x^{2}$ y $\frac{1}{2}$ .

$y^{2} = - 2 (- \frac{x^{2}}{2} + K)$

Paso 3.2.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{2} = - 2 (- \frac{x^{2}}{2}) - 2 K$

Paso 3.2.2.1.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.2.1.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{x^{2}}{2}$ al numerador.

$y^{2} = - 2 \frac{- x^{2}}{2} - 2 K$

Paso 3.2.2.1.3.2

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$y^{2} = 2 (- 1) \frac{- x^{2}}{2} - 2 K$

Paso 3.2.2.1.3.3

Cancela el factor común.

$y^{2} = 2 \cdot - 1 \frac{- x^{2}}{2} - 2 K$

Paso 3.2.2.1.3.4

Reescribe la expresión.

$y^{2} = - - x^{2} - 2 K$

Paso 3.2.2.1.4

Multiplica.

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Paso 3.2.2.1.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$y^{2} = 1 x^{2} - 2 K$

Paso 3.2.2.1.4.2

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$y^{2} = x^{2} - 2 K$

Paso 3.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \pm \sqrt{x^{2} - 2 K}$

Paso 3.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y = \sqrt{x^{2} - 2 K}$

Paso 3.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$y = - \sqrt{x^{2} - 2 K}$

Paso 3.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$y = \sqrt{x^{2} - 2 K}$

$y = - \sqrt{x^{2} - 2 K}$

$y = \sqrt{x^{2} - 2 K}$

$y = - \sqrt{x^{2} - 2 K}$

$y = \sqrt{x^{2} - 2 K}$

$y = - \sqrt{x^{2} - 2 K}$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = \sqrt{x^{2} + K}$

$y = - \sqrt{x^{2} + K}$