Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \cos (2 x)$ , $y (\frac{π}{2}) = 3$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d y = \cos (2 x) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int \cos (2 x) d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int \cos (2 x) d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Sea $u = 2 x$ . Entonces $d u = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.3.1.1

Deja $u = 2 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.3.1.1.1

Diferencia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 2.3.1.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 2.3.1.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 2.3.1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$y + C_{1} = \int \cos (u) \frac{1}{2} d u$

Paso 2.3.2

Combina $\cos (u)$ y $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{\cos (u)}{2} d u$

Paso 2.3.3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \cos (u) d u$

Paso 2.3.4

La integral de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $\sin (u)$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (\sin (u) + C_{2})$

Paso 2.3.5

Simplifica.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \sin (u) + C_{2}$

Paso 2.3.6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \sin (2 x) + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y = \frac{1}{2} \sin (2 x) + K$

Paso 3

Usa la condición inicial para obtener el valor de $K$ mediante la sustitución de $\frac{π}{2}$ por $x$ y de $3$ por $y$ en $y = \frac{1}{2} \sin (2 x) + K$ .

$3 = \frac{1}{2} \sin (2 \frac{π}{2}) + K$

Paso 4

Resuelve $K$

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $\frac{1}{2} \cdot \sin (2 (\frac{π}{2})) + K = 3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \sin (2 (\frac{π}{2})) + K = 3$

Paso 4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Simplifica $\frac{1}{2} \cdot \sin (2 (\frac{π}{2})) + K$ .

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Paso 4.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.1.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2} \cdot \sin (2 \frac{π}{2}) + K = 3$

Paso 4.2.1.1.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2} \cdot \sin (π) + K = 3$

Paso 4.2.1.1.2

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$\frac{1}{2} \cdot \sin (0) + K = 3$

Paso 4.2.1.1.3

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot 0 + K = 3$

Paso 4.2.1.1.4

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $0$ .

$0 + K = 3$

Paso 4.2.1.2

Suma $0$ y $K$ .

$K = 3$

Paso 5

Sustituye $3$ por $K$ en $y = \frac{1}{2} \sin (2 x) + K$ y simplifica.

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Paso 5.1

Sustituye $3$ por $K$ .

$y = \frac{1}{2} \sin (2 x) + 3$

Paso 5.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $\sin (2 x)$ .

$y = \frac{\sin (2 x)}{2} + 3$