Cálculo Ejemplos

$(y \ln (x) + y) d x + (x \ln (x) - e^{y}) d y = 0$

Paso 1

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = y \ln (x) + y$ .

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Paso 1.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y \ln (x) + y]$

Paso 1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $y \ln (x) + y$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y \ln (x)] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y \ln (x)] + \frac{d}{d y} [y]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [y \ln (x)]$ .

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Paso 1.3.1

Como $\ln (x)$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $y \ln (x)$ con respecto a $y$ es $\ln (x) \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \ln (x) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \ln (x) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [y]$

Paso 1.3.3

Multiplica $\ln (x)$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \ln (x) + \frac{d}{d y} [y]$

Paso 1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \ln (x) + 1$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = x \ln (x) - e^{y}$ .

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Paso 2.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x \ln (x) - e^{y}]$

Paso 2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x \ln (x) - e^{y}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- e^{y}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- e^{y}]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

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Paso 2.3.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \ln (x)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- e^{y}]$

Paso 2.3.2

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- e^{y}]$

Paso 2.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- e^{y}]$

Paso 2.3.4

Combina $x$ y $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- e^{y}]$

Paso 2.3.5

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 2.3.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- e^{y}]$

Paso 2.3.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \ln (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- e^{y}]$

Paso 2.3.6

Multiplica $\ln (x)$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \ln (x) + \frac{d}{d x} [- e^{y}]$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.4.1

Como $- e^{y}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- e^{y}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \ln (x) + 0$

Paso 2.4.2

Suma $1 + \ln (x)$ y $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \ln (x)$

Paso 3

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 3.1

Sustituye $\ln (x) + 1$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $1 + \ln (x)$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\ln (x) + 1 = 1 + \ln (x)$

Paso 3.2

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$\ln (x) + 1 = 1 + \ln (x)$ es una identidad.

Paso 4

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x \ln (x) - e^{y} d y$

Paso 5

Integra $N (x, y) = x \ln (x) - e^{y}$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 5.1

Divide la única integral en varias integrales.

$f (x, y) = \int x \ln (x) d y + \int - e^{y} d y$

Paso 5.2

Aplica la regla de la constante.

$f (x, y) = x \ln (x) y + C + \int - e^{y} d y$

Paso 5.3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$f (x, y) = x \ln (x) y + C - \int e^{y} d y$

Paso 5.4

La integral de $e^{y}$ con respecto a $y$ es $e^{y}$ .

$f (x, y) = x \ln (x) y + C - (e^{y} + C)$

Paso 5.5

Simplifica.

$f (x, y) = x \ln (x) y - e^{y} + C$

Paso 6

Como la integral de $g (x)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = x \ln (x) y - e^{y} + g (x)$

Paso 7

Establece $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = y \ln (x) + y$

Paso 8

Obtén $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Paso 8.1

Diferencia $f$ con respecto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [x \ln (x) y - e^{y} + g (x)] = y \ln (x) + y$

Paso 8.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x \ln (x) y - e^{y} + g (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x \ln (x) y] + \frac{d}{d x} [- e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x \ln (x) y] + \frac{d}{d x} [- e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \ln (x) + y$

Paso 8.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [x \ln (x) y]$ .

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Paso 8.3.1

Como $y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $x \ln (x) y$ con respecto a $x$ es $y \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$y \frac{d}{d x} [x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \ln (x) + y$

Paso 8.3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \ln (x)$ .

$y (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \ln (x) + y$

Paso 8.3.3

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$y (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \ln (x) + y$

Paso 8.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$y (x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \ln (x) + y$

Paso 8.3.5

Combina $x$ y $\frac{1}{x}$ .

$y (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \ln (x) + y$

Paso 8.3.6

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 8.3.6.1

Cancela el factor común.

$y (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \ln (x) + y$

Paso 8.3.6.2

Reescribe la expresión.

$y (1 + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \ln (x) + y$

Paso 8.3.7

Multiplica $\ln (x)$ por $1$ .

$y (1 + \ln (x)) + \frac{d}{d x} [- e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \ln (x) + y$

Paso 8.4

Como $- e^{y}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- e^{y}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$y (1 + \ln (x)) + 0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \ln (x) + y$

Paso 8.5

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (x)$ es $\frac{d g}{d x}$ .

$y (1 + \ln (x)) + 0 + \frac{d g}{d x} = y \ln (x) + y$

Paso 8.6

Simplifica.

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Paso 8.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y \cdot 1 + y \ln (x) + 0 + \frac{d g}{d x} = y \ln (x) + y$

Paso 8.6.2

Combina los términos.

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Paso 8.6.2.1

Multiplica $y$ por $1$ .

$y + y \ln (x) + 0 + \frac{d g}{d x} = y \ln (x) + y$

Paso 8.6.2.2

Suma $y + y \ln (x)$ y $0$ .

$y + y \ln (x) + \frac{d g}{d x} = y \ln (x) + y$

Paso 8.6.3

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d x} + y \ln (x) + y = y \ln (x) + y$

Paso 9

Resuelve $\frac{d g}{d x}$

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Paso 9.1

Resuelve $\frac{d g}{d x}$

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Paso 9.1.1

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$y \ln (x) - y \ln (x) = - \frac{d g}{d x} - y + y$

Paso 9.1.2

Resta $y \ln (x)$ de $y \ln (x)$ .

$0 = - \frac{d g}{d x} - y + y$

Paso 9.1.3

Combina los términos opuestos en $- \frac{d g}{d x} - y + y$ .

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Paso 9.1.3.1

Suma $- y$ y $y$ .

$0 = - \frac{d g}{d x} + 0$

Paso 9.1.3.2

Suma $- \frac{d g}{d x}$ y $0$ .

$0 = - \frac{d g}{d x}$

Paso 9.1.4

Como $\frac{d g}{d x}$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$- \frac{d g}{d x} = 0$

Paso 9.1.5

Divide cada término en $- \frac{d g}{d x} = 0$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 9.1.5.1

Divide cada término en $- \frac{d g}{d x} = 0$ por $- 1$ .

$\frac{- \frac{d g}{d x}}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Paso 9.1.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 9.1.5.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{\frac{d g}{d x}}{1} = \frac{0}{- 1}$

Paso 9.1.5.2.2

Divide $\frac{d g}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{0}{- 1}$

Paso 9.1.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 9.1.5.3.1

Divide $0$ por $- 1$ .

$\frac{d g}{d x} = 0$

Paso 10

Obtén la antiderivada de $0$ y obtén $g (x)$ .

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Paso 10.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d x} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 0 d x$

Paso 10.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 0 d x$

Paso 10.3

La integral de $0$ con respecto a $x$ es $0$ .

$g (x) = 0 + C$

Paso 10.4

Suma $0$ y $C$ .

$g (x) = C$

Paso 11

Sustituye por $g (x)$ en $f (x, y) = x \ln (x) y - e^{y} + g (x)$ .

$f (x, y) = x \ln (x) y - e^{y} + C$

Paso 12

Reordena los factores en $f (x, y) = x \ln (x) y - e^{y} + C$ .

$f (x, y) = x y \ln (x) - e^{y} + C$