Cálculo Ejemplos

$(x^{2} - 1) \frac{d y}{d x} + x y = x$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Resuelve $\frac{d y}{d x}$

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Paso 1.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 1 \frac{d y}{d x} + x y = x$

Paso 1.1.1.2

Reescribe $- 1 \frac{d y}{d x}$ como $- \frac{d y}{d x}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} + x y = x$

Paso 1.1.2

Resta $x y$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} = x - x y$

Paso 1.1.3

Factoriza $\frac{d y}{d x}$ de $x^{2} \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x}$ .

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Paso 1.1.3.1

Factoriza $\frac{d y}{d x}$ de $x^{2} \frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} x^{2} - \frac{d y}{d x} = x - x y$

Paso 1.1.3.2

Factoriza $\frac{d y}{d x}$ de $- \frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} \cdot - 1 = x - x y$

Paso 1.1.3.3

Factoriza $\frac{d y}{d x}$ de $\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} \cdot - 1$ .

$\frac{d y}{d x} (x^{2} - 1) = x - x y$

Paso 1.1.4

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} (x^{2} - 1^{2}) = x - x y$

Paso 1.1.5

Factoriza.

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Paso 1.1.5.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$\frac{d y}{d x} ((x + 1) (x - 1)) = x - x y$

Paso 1.1.5.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$\frac{d y}{d x} (x + 1) (x - 1) = x - x y$

Paso 1.1.6

Divide cada término en $\frac{d y}{d x} (x + 1) (x - 1) = x - x y$ por $(x + 1) (x - 1)$ y simplifica.

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Paso 1.1.6.1

Divide cada término en $\frac{d y}{d x} (x + 1) (x - 1) = x - x y$ por $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{- x y}{(x + 1) (x - 1)}$

Paso 1.1.6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.6.2.1

Cancela el factor común de $x + 1$ .

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Paso 1.1.6.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{d y}{d x} (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{- x y}{(x + 1) (x - 1)}$

Paso 1.1.6.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{d y}{d x} (x - 1)}{x - 1} = \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{- x y}{(x + 1) (x - 1)}$

Paso 1.1.6.2.2

Cancela el factor común de $x - 1$ .

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Paso 1.1.6.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{d y}{d x} (x - 1)}{x - 1} = \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{- x y}{(x + 1) (x - 1)}$

Paso 1.1.6.2.2.2

Divide $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{- x y}{(x + 1) (x - 1)}$

Paso 1.1.6.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.6.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{x y}{(x + 1) (x - 1)}$

Paso 1.2

Factoriza.

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Paso 1.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x - x y}{(x + 1) (x - 1)}$

Paso 1.2.2

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.2.1

Factoriza $x$ de $x - x y$ .

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Paso 1.2.2.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{1} - x y}{(x + 1) (x - 1)}$

Paso 1.2.2.1.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 1 - x y}{(x + 1) (x - 1)}$

Paso 1.2.2.1.3

Factoriza $x$ de $- x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 1 + x (- 1 y)}{(x + 1) (x - 1)}$

Paso 1.2.2.1.4

Factoriza $x$ de $x \cdot 1 + x (- 1 y)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot (1 - 1 y)}{(x + 1) (x - 1)}$

Paso 1.2.2.1.5

Multiplica $x$ por $1 - 1 y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (1 - 1 y)}{(x + 1) (x - 1)}$

Paso 1.2.2.2

Reescribe $- 1 y$ como $- y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (1 - y)}{(x + 1) (x - 1)}$

Paso 1.3

Reagrupa los factores.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} (1 - y)$

Paso 1.4

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{1 - y}$ .

$\frac{1}{1 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 - y} (\frac{x}{(x + 1) (x - 1)} (1 - y))$

Paso 1.5

Cancela el factor común de $1 - y$ .

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Paso 1.5.1

Factoriza $1 - y$ de $\frac{x}{(x + 1) (x - 1)} (1 - y)$ .

$\frac{1}{1 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 - y} ((1 - y) \frac{x}{(x + 1) (x - 1)})$

Paso 1.5.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{1 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 - y} ((1 - y) \frac{x}{(x + 1) (x - 1)})$

Paso 1.5.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{1 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{x}{(x + 1) (x - 1)}$

Paso 1.6

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{1 - y} d y = \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{1 - y} d y = \int \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Sea $u_{1} = 1 - y$ . Entonces $d u_{1} = - d y$ , de modo que $- d u_{1} = d y$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 2.2.1.1

Deja $u_{1} = 1 - y$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Reescribe.

$\frac{- 1}{1}$

Paso 2.2.1.1.2

Divide $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 2.2.1.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\int \frac{- 1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Paso 2.2.2

Divide la fracción en varias fracciones.

$\int - \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Paso 2.2.3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Paso 2.2.4

La integral de $\frac{1}{u_{1}}$ con respecto a $u_{1}$ es $\ln (| u_{1} |)$ .

$- (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Paso 2.2.5

Simplifica.

$- \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Paso 2.2.6

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $1 - y$ .

$- \ln (| 1 - y |) + C_{1} = \int \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Sea $u_{2} = (x + 1) (x - 1)$ . Entonces $d u_{2} = 2 x d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 2.3.1.1

Deja $u_{2} = (x + 1) (x - 1)$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 2.3.1.1.1

Diferencia $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 1)]$

Paso 2.3.1.1.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x + 1$ y $g (x) = x - 1$ .

$(x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1] + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 2.3.1.1.3

Diferencia.

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Paso 2.3.1.1.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$(x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 2.3.1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$(x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 2.3.1.1.3.3

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$(x + 1) (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 2.3.1.1.3.4

Simplifica la expresión.

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Paso 2.3.1.1.3.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$(x + 1) \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 2.3.1.1.3.4.2

Multiplica $x + 1$ por $1$ .

$x + 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 2.3.1.1.3.5

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$x + 1 + (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 2.3.1.1.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x + 1 + (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 2.3.1.1.3.7

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$x + 1 + (x - 1) (1 + 0)$

Paso 2.3.1.1.3.8

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 2.3.1.1.3.8.1

Suma $1$ y $0$ .

$x + 1 + (x - 1) \cdot 1$

Paso 2.3.1.1.3.8.2

Multiplica $x - 1$ por $1$ .

$x + 1 + x - 1$

Paso 2.3.1.1.3.8.3

Suma $x$ y $x$ .

$2 x + 1 - 1$

Paso 2.3.1.1.3.8.4

Simplifica mediante la resta de números.

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Paso 2.3.1.1.3.8.4.1

Resta $1$ de $1$ .

$2 x + 0$

Paso 2.3.1.1.3.8.4.2

Suma $2 x$ y $0$ .

$2 x$

Paso 2.3.1.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$- \ln (| 1 - y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Paso 2.3.2

Simplifica.

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Paso 2.3.2.1

Multiplica $\frac{1}{u_{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \ln (| 1 - y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Paso 2.3.2.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u_{2}$ .

$- \ln (| 1 - y |) + C_{1} = \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Paso 2.3.3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$- \ln (| 1 - y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 2.3.4

La integral de $\frac{1}{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\ln (| u_{2} |)$ .

$- \ln (| 1 - y |) + C_{1} = \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Paso 2.3.5

Simplifica.

$- \ln (| 1 - y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Paso 2.3.6

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $(x + 1) (x - 1)$ .

$- \ln (| 1 - y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$- \ln (| 1 - y |) = \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $\ln (| (x + 1) (x - 1) |)$ .

$- \ln (| 1 - y |) = \frac{\ln (| (x + 1) (x - 1) |)}{2} + C$

Paso 3.2

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$- \ln (| 1 - y |) - \frac{\ln (| (x + 1) (x - 1) |)}{2} = C$

Paso 3.3

Simplifica el numerador.

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Paso 3.3.1

Expande $(x + 1) (x - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.3.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- \ln (| 1 - y |) - \frac{\ln (| x (x - 1) + 1 (x - 1) |)}{2} = C$

Paso 3.3.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- \ln (| 1 - y |) - \frac{\ln (| x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) |)}{2} = C$

Paso 3.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- \ln (| 1 - y |) - \frac{\ln (| x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 |)}{2} = C$

Paso 3.3.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.2.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$- \ln (| 1 - y |) - \frac{\ln (| x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 |)}{2} = C$

Paso 3.3.2.1.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$- \ln (| 1 - y |) - \frac{\ln (| x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 |)}{2} = C$

Paso 3.3.2.1.3

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$- \ln (| 1 - y |) - \frac{\ln (| x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 |)}{2} = C$

Paso 3.3.2.1.4

Multiplica $x$ por $1$ .

$- \ln (| 1 - y |) - \frac{\ln (| x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 |)}{2} = C$

Paso 3.3.2.1.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- \ln (| 1 - y |) - \frac{\ln (| x^{2} - x + x - 1 |)}{2} = C$

Paso 3.3.2.2

Suma $- x$ y $x$ .

$- \ln (| 1 - y |) - \frac{\ln (| x^{2} + 0 - 1 |)}{2} = C$

Paso 3.3.2.3

Suma $x^{2}$ y $0$ .

$- \ln (| 1 - y |) - \frac{\ln (| x^{2} - 1 |)}{2} = C$

Paso 3.4

Para escribir $- \ln (| 1 - y |)$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$- \ln (| 1 - y |) \cdot \frac{2}{2} - \frac{\ln (| x^{2} - 1 |)}{2} = C$

Paso 3.5

Combina $- \ln (| 1 - y |)$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- \ln (| 1 - y |) \cdot 2}{2} - \frac{\ln (| x^{2} - 1 |)}{2} = C$

Paso 3.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- \ln (| 1 - y |) \cdot 2 - \ln (| x^{2} - 1 |)}{2} = C$

Paso 3.7

Factoriza $- 1$ de $- \ln (| 1 - y |) \cdot 2 - \ln (| x^{2} - 1 |)$ .

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Paso 3.7.1

Reordena la expresión.

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Paso 3.7.1.1

Reordena $1$ y $- y$ .

$\frac{- \ln (| - y + 1 |) \cdot 2 - \ln (| x^{2} - 1 |)}{2} = C$

Paso 3.7.1.2

Mueve $\ln (| - y + 1 |)$ .

$\frac{- 1 \cdot (2 \ln (| - y + 1 |)) - \ln (| x^{2} - 1 |)}{2} = C$

Paso 3.7.2

Factoriza $- 1$ de $- 1 \cdot 2 \ln (| - y + 1 |)$ .

$\frac{- (2 \ln (| - y + 1 |)) - \ln (| x^{2} - 1 |)}{2} = C$

Paso 3.7.3

Factoriza $- 1$ de $- \ln (| x^{2} - 1 |)$ .

$\frac{- (2 \ln (| - y + 1 |)) - (\ln (| x^{2} - 1 |))}{2} = C$

Paso 3.7.4

Factoriza $- 1$ de $- (2 \ln (| - y + 1 |)) - (\ln (| x^{2} - 1 |))$ .

$\frac{- (2 \ln (| - y + 1 |) + \ln (| x^{2} - 1 |))}{2} = C$

Paso 3.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2 \ln (| - y + 1 |) + \ln (| x^{2} - 1 |)}{2} = C$

Paso 3.9

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.9.1

Simplifica $- \frac{2 \ln (| - y + 1 |) + \ln (| x^{2} - 1 |)}{2}$ .

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Paso 3.9.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.9.1.1.1

Simplifica $2 \ln (| - y + 1 |)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$- \frac{\ln ({| - y + 1 |}^{2}) + \ln (| x^{2} - 1 |)}{2} = C$

Paso 3.9.1.1.2

Elimina el valor absoluto en ${| - y + 1 |}^{2}$ porque las potenciaciones con potencias pares siempre son positivas.

$- \frac{\ln ({(- y + 1)}^{2}) + \ln (| x^{2} - 1 |)}{2} = C$

Paso 3.9.1.1.3

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$- \frac{\ln ({(- y + 1)}^{2} | x^{2} - 1 |)}{2} = C$

Paso 3.9.1.2

Reescribe $\frac{\ln ({(- y + 1)}^{2} | x^{2} - 1 |)}{2}$ como $\frac{1}{2} \ln ({(- y + 1)}^{2} | x^{2} - 1 |)$ .

$- (\frac{1}{2} \ln ({(- y + 1)}^{2} | x^{2} - 1 |)) = C$

Paso 3.9.1.3

Simplifica $\frac{1}{2} \ln ({(- y + 1)}^{2} | x^{2} - 1 |)$ al mover $\frac{1}{2}$ dentro del algoritmo.

$- \ln ({({(- y + 1)}^{2} | x^{2} - 1 |)}^{\frac{1}{2}}) = C$

Paso 3.9.1.4

Aplica la regla del producto a ${(- y + 1)}^{2} | x^{2} - 1 |$ .

$- \ln ({({(- y + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}} {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Paso 3.9.1.5

Multiplica los exponentes en ${({(- y + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 3.9.1.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \ln ({(- y + 1)}^{2 (\frac{1}{2})} {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Paso 3.9.1.5.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.9.1.5.2.1

Cancela el factor común.

$- \ln ({(- y + 1)}^{2 (\frac{1}{2})} {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Paso 3.9.1.5.2.2

Reescribe la expresión.

$- \ln ({(- y + 1)}^{1} {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Paso 3.9.1.6

Simplifica.

$- \ln ((- y + 1) {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Paso 3.9.1.7

Aplica la propiedad distributiva.

$- \ln (- y {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}} + 1 {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Paso 3.9.1.8

Multiplica ${| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$- \ln (- y {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}} + {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Paso 3.10

Divide cada término en $- \ln (- y {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}} + {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}) = C$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 3.10.1

Divide cada término en $- \ln (- y {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}} + {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}) = C$ por $- 1$ .

$\frac{- \ln (- y {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}} + {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}})}{- 1} = \frac{C}{- 1}$

Paso 3.10.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.10.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{\ln (- y {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}} + {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}})}{1} = \frac{C}{- 1}$

Paso 3.10.2.2

Divide $\ln (- y {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}} + {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}})$ por $1$ .

$\ln (- y {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}} + {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}) = \frac{C}{- 1}$

Paso 3.10.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.10.3.1

Mueve el negativo del denominador de $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (- y {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}} + {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}) = - 1 \cdot C$

Paso 3.10.3.2

Reescribe $- 1 \cdot C$ como $- C$ .

$\ln (- y {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}} + {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}) = - C$

Paso 3.11

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (- y {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}} + {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}})} = e^{- C}$

Paso 3.12

Reescribe $\ln (- y {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}} + {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}) = - C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- C} = - y {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}} + {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}$

Paso 3.13

Resuelve $y$

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Paso 3.13.1

Reescribe la ecuación como $- y {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}} + {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}} = e^{- C}$ .

$- y {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}} + {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}} = e^{- C}$

Paso 3.13.2

Resta ${| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}$ de ambos lados de la ecuación.

$- y {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}} = e^{- C} - {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}$

Paso 3.13.3

Divide cada término en $- y {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}} = e^{- C} - {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}$ por $- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}$ y simplifica.

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Paso 3.13.3.1

Divide cada término en $- y {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}} = e^{- C} - {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}$ por $- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- y {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}{- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}} = \frac{e^{- C}}{- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}{- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 3.13.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.13.3.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{y {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}{{| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}} = \frac{e^{- C}}{- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}{- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 3.13.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{y {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}{{| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}} = \frac{e^{- C}}{- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}{- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 3.13.3.2.3

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{e^{- C}}{- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}{- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 3.13.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.13.3.3.1

Para escribir $\frac{e^{- C}}{- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{- 1}{- 1}$ .

$y = \frac{e^{- C}}{- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{- 1}{- 1} + \frac{- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}{- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 3.13.3.3.2

Para escribir $\frac{- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}{- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{- 1}{- 1}$ .

$y = \frac{e^{- C}}{- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{- 1}{- 1} + \frac{- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}{- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

Paso 3.13.3.3.3

Escribe cada expresión con un denominador común de ${| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 3.13.3.3.3.1

Multiplica $\frac{e^{- C}}{- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{- 1}{- 1}$ .

$y = \frac{e^{- C} \cdot - 1}{- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}} \cdot - 1} + \frac{- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}{- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

Paso 3.13.3.3.3.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$y = \frac{e^{- C} \cdot - 1}{1 {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}{- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

Paso 3.13.3.3.3.3

Multiplica ${| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$y = \frac{e^{- C} \cdot - 1}{{| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}{- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

Paso 3.13.3.3.3.4

Multiplica $\frac{- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}{- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{- 1}{- 1}$ .

$y = \frac{e^{- C} \cdot - 1}{{| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}} \cdot - 1}{- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}} \cdot - 1}$

Paso 3.13.3.3.3.5

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$y = \frac{e^{- C} \cdot - 1}{{| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}} \cdot - 1}{1 {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 3.13.3.3.3.6

Multiplica ${| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$y = \frac{e^{- C} \cdot - 1}{{| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}} \cdot - 1}{{| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 3.13.3.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{e^{- C} \cdot - 1 - {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}} \cdot - 1}{{| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 3.13.3.3.5

Simplifica cada término.

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Paso 3.13.3.3.5.1

Mueve $- 1$ a la izquierda de $e^{- C}$ .

$y = \frac{- 1 \cdot e^{- C} - {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}} \cdot - 1}{{| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 3.13.3.3.5.2

Reescribe $- 1 e^{- C}$ como $- e^{- C}$ .

$y = \frac{- e^{- C} - {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}} \cdot - 1}{{| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 3.13.3.3.5.3

Multiplica $- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}} \cdot - 1$ .

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Paso 3.13.3.3.5.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$y = \frac{- e^{- C} + 1 {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}{{| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 3.13.3.3.5.3.2

Multiplica ${| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$y = \frac{- e^{- C} + {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}{{| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 3.13.3.3.6

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 3.13.3.3.6.1

Factoriza $- 1$ de ${| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \frac{- e^{- C} - 1 (- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}})}{{| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 3.13.3.3.6.2

Factoriza $- 1$ de $- e^{- C} - 1 (- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}})$ .

$y = \frac{- (e^{- C} - {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}})}{{| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 3.13.3.3.6.3

Simplifica la expresión.

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Paso 3.13.3.3.6.3.1

Reescribe $- (e^{- C} - {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}})$ como $- 1 (e^{- C} - {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}})$ .

$y = \frac{- 1 (e^{- C} - {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}})}{{| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 3.13.3.3.6.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{e^{- C} - {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}{{| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = - \frac{C - {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}{{| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}$