Cálculo Ejemplos

$\frac{d x}{d t} = \frac{t - 1}{x^{2} - 4 x + 4}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $x^{2} - 4 x + 4$ .

$(x^{2} - 4 x + 4) \frac{d x}{d t} = (x^{2} - 4 x + 4) \frac{t - 1}{x^{2} - 4 x + 4}$

Paso 1.2

Simplifica.

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Paso 1.2.1

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 1.2.1.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$(x^{2} - 4 x + 4) \frac{d x}{d t} = (x^{2} - 4 x + 4) \frac{t - 1}{x^{2} - 4 x + 2^{2}}$

Paso 1.2.1.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Paso 1.2.1.3

Reescribe el polinomio.

$(x^{2} - 4 x + 4) \frac{d x}{d t} = (x^{2} - 4 x + 4) \frac{t - 1}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}}$

Paso 1.2.1.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$(x^{2} - 4 x + 4) \frac{d x}{d t} = (x^{2} - 4 x + 4) \frac{t - 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.2.2

Multiplica $x^{2} - 4 x + 4$ por $\frac{t - 1}{{(x - 2)}^{2}}$ .

$(x^{2} - 4 x + 4) \frac{d x}{d t} = \frac{(x^{2} - 4 x + 4) (t - 1)}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.2.3

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 1.2.3.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$(x^{2} - 4 x + 4) \frac{d x}{d t} = \frac{(x^{2} - 4 x + 2^{2}) (t - 1)}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.2.3.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Paso 1.2.3.3

Reescribe el polinomio.

$(x^{2} - 4 x + 4) \frac{d x}{d t} = \frac{(x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}) (t - 1)}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.2.3.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$(x^{2} - 4 x + 4) \frac{d x}{d t} = \frac{{(x - 2)}^{2} (t - 1)}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.2.4

Cancela el factor común de ${(x - 2)}^{2}$ .

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Paso 1.2.4.1

Cancela el factor común.

$(x^{2} - 4 x + 4) \frac{d x}{d t} = \frac{{(x - 2)}^{2} (t - 1)}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.2.4.2

Divide $t - 1$ por $1$ .

$(x^{2} - 4 x + 4) \frac{d x}{d t} = t - 1$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$(x^{2} - 4 x + 4) d x = (t - 1) d t$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int x^{2} - 4 x + 4 d x = \int t - 1 d t$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Divide la única integral en varias integrales.

$\int x^{2} d x + \int - 4 x d x + \int 4 d x = \int t - 1 d t$

Paso 2.2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C_{1} + \int - 4 x d x + \int 4 d x = \int t - 1 d t$

Paso 2.2.3

Dado que $- 4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 4$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} x^{3} + C_{1} - 4 \int x d x + \int 4 d x = \int t - 1 d t$

Paso 2.2.4

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C_{1} - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int 4 d x = \int t - 1 d t$

Paso 2.2.5

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{3} x^{3} + C_{1} - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + 4 x + C_{3} = \int t - 1 d t$

Paso 2.2.6

Simplifica.

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Paso 2.2.6.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C_{1} - 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + 4 x + C_{3} = \int t - 1 d t$

Paso 2.2.6.2

Simplifica.

$\frac{x^{3}}{3} - 2 x^{2} + 4 x + C_{4} = \int t - 1 d t$

Paso 2.2.6.3

Reordena los términos.

$\frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 4 x + C_{4} = \int t - 1 d t$

Paso 2.2.7

Reordena los términos.

$- 2 x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + 4 x + C_{4} = \int t - 1 d t$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$- 2 x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + 4 x + C_{4} = \int t d t + \int - 1 d t$

Paso 2.3.2

Según la regla de la potencia, la integral de $t$ con respecto a $t$ es $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$- 2 x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + 4 x + C_{4} = \frac{1}{2} t^{2} + C_{5} + \int - 1 d t$

Paso 2.3.3

Aplica la regla de la constante.

$- 2 x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + 4 x + C_{4} = \frac{1}{2} t^{2} + C_{5} - t + C_{6}$

Paso 2.3.4

Simplifica.

$- 2 x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + 4 x + C_{4} = \frac{1}{2} t^{2} - t + C_{7}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$- 2 x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + 4 x = \frac{1}{2} t^{2} - t + K$