Cálculo Ejemplos

$x \frac{d y}{d x} - y = 2 x^{2} y$ $y = A x e^{x^{2}}$

Paso 1

Escribe el problema como una expresión matemática.

$x \frac{d y}{d x} - y = 2 x^{2} y$ $y = A x e^{x^{2}}$

Paso 2

Reescribe la ecuación diferencial.

$x y' - y = 2 x^{2} y$

Paso 3

Obtén $y'$ .

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Paso 3.1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (A x e^{x^{2}})$

Paso 3.2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3.3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.3.1

Como $A$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $A x e^{x^{2}}$ con respecto a $x$ es $A \frac{d}{d x} [x e^{x^{2}}]$ .

$A \frac{d}{d x} [x e^{x^{2}}]$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = e^{x^{2}}$ .

$A (x \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}] + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = x^{2}$ .

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Paso 3.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2}$ .

$A (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.3.3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$A (x (e^{u} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$A (x (e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$A (x (e^{x^{2}} (2 x)) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.3.5

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$A (x^{1} x (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.3.6

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$A (x^{1} x^{1} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.3.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$A (x^{1 + 1} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.3.8

Simplifica la expresión.

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Paso 3.3.8.1

Suma $1$ y $1$ .

$A (x^{2} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.3.8.2

Mueve $2$ a la izquierda de $e^{x^{2}}$ .

$A (x^{2} (2 \cdot e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.3.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$A (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} \cdot 1)$

Paso 3.3.10

Multiplica $e^{x^{2}}$ por $1$ .

$A (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}})$

Paso 3.3.11

Simplifica.

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Paso 3.3.11.1

Aplica la propiedad distributiva.

$A (x^{2} (2 e^{x^{2}})) + A e^{x^{2}}$

Paso 3.3.11.2

Reordena los términos.

$2 e^{x^{2}} x^{2} A + e^{x^{2}} A$

Paso 3.3.11.3

Reordena los factores en $2 e^{x^{2}} x^{2} A + e^{x^{2}} A$ .

$2 x^{2} A e^{x^{2}} + A e^{x^{2}}$

Paso 3.4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = 2 x^{2} A e^{x^{2}} + A e^{x^{2}}$

Paso 4

Sustituye en la ecuación diferencial dada.

$x (2 x^{2} A e^{x^{2}} + A e^{x^{2}}) - (A x e^{x^{2}}) = 2 x^{2} (A x e^{x^{2}})$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x (2 x^{2} A e^{x^{2}}) + x (A e^{x^{2}}) - (A x e^{x^{2}}) = 2 x^{2} (A x e^{x^{2}})$

Paso 5.1.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 x (x^{2} A e^{x^{2}}) + x (A e^{x^{2}}) - (A x e^{x^{2}}) = 2 x^{2} (A x e^{x^{2}})$

Paso 5.1.3

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.1.3.1

Mueve $x^{2}$ .

$2 (x^{2} x) (A e^{x^{2}}) + x (A e^{x^{2}}) - (A x e^{x^{2}}) = 2 x^{2} (A x e^{x^{2}})$

Paso 5.1.3.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 5.1.3.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$2 (x^{2} x^{1}) (A e^{x^{2}}) + x (A e^{x^{2}}) - (A x e^{x^{2}}) = 2 x^{2} (A x e^{x^{2}})$

Paso 5.1.3.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 x^{2 + 1} (A e^{x^{2}}) + x (A e^{x^{2}}) - (A x e^{x^{2}}) = 2 x^{2} (A x e^{x^{2}})$

Paso 5.1.3.3

Suma $2$ y $1$ .

$2 x^{3} (A e^{x^{2}}) + x (A e^{x^{2}}) - (A x e^{x^{2}}) = 2 x^{2} (A x e^{x^{2}})$

$2 x^{3} (A e^{x^{2}}) + x (A e^{x^{2}}) - A x e^{x^{2}} = 2 x^{2} (A x e^{x^{2}})$

Paso 5.2

Combina los términos opuestos en $2 x^{3} (A e^{x^{2}}) + x (A e^{x^{2}}) - A x e^{x^{2}}$ .

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Paso 5.2.1

Reordena los factores en los términos $x (A e^{x^{2}})$ y $- A x e^{x^{2}}$ .

$2 x^{3} (A e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} A x - e^{x^{2}} A x = 2 x^{2} (A x e^{x^{2}})$

Paso 5.2.2

Resta $e^{x^{2}} A x$ de $e^{x^{2}} A x$ .

$2 x^{3} (A e^{x^{2}}) + 0 = 2 x^{2} (A x e^{x^{2}})$

Paso 5.2.3

Suma $2 x^{3} (A e^{x^{2}})$ y $0$ .

$2 x^{3} (A e^{x^{2}}) = 2 x^{2} (A x e^{x^{2}})$

Paso 5.3

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 5.3.1

Mueve $x$ .

$2 x^{3} (A e^{x^{2}}) = 2 (x \cdot x^{2}) (A e^{x^{2}})$

Paso 5.3.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 5.3.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$2 x^{3} (A e^{x^{2}}) = 2 (x^{1} x^{2}) (A e^{x^{2}})$

Paso 5.3.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 x^{3} (A e^{x^{2}}) = 2 x^{1 + 2} (A e^{x^{2}})$

Paso 5.3.3

Suma $1$ y $2$ .

$2 x^{3} (A e^{x^{2}}) = 2 x^{3} (A e^{x^{2}})$

Paso 5.4

Reordena los factores en $2 x^{3} (A e^{x^{2}}) = 2 x^{3} (A e^{x^{2}})$ .

$2 x^{3} A e^{x^{2}} = 2 x^{3} A e^{x^{2}}$

Paso 6

La solución dada satisface la ecuación diferencial dada.

$y = A x e^{x^{2}}$ es una solución para $x y' - y = 2 x^{2} y$