Cálculo Ejemplos

$y d x + (x + 2 x y^{2} - 2 y) d y = 0$

Paso 1

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = y$ .

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Paso 1.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = x + 2 x y^{2} - 2 y$ .

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Paso 2.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x + 2 x y^{2} - 2 y]$

Paso 2.2

Diferencia.

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Paso 2.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 2 x y^{2} - 2 y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \frac{d}{d x} [2 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x y^{2}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $2 y^{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x y^{2}$ con respecto a $x$ es $2 y^{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 2 y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 2 y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Paso 2.3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 2 y^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Paso 2.4

Como $- 2 y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 y$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 2 y^{2} + 0$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Suma $1 + 2 y^{2}$ y $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 2 y^{2}$

Paso 2.5.2

Reordena los términos.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y^{2} + 1$

Paso 3

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 3.1

Sustituye $1$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $2 y^{2} + 1$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$1 = 2 y^{2} + 1$

Paso 3.2

Como el lado izquierdo no es igual al lado derecho, la ecuación no es una identidad.

$1 = 2 y^{2} + 1$ no es una identidad.

Paso 4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Paso 4.1

Sustituye $2 y^{2} + 1$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{2 y^{2} + 1 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Paso 4.2

Sustituye $1$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{2 y^{2} + 1 - 1}{M}$

Paso 4.3

Sustituye $y$ por $M$ .

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Paso 4.3.1

Sustituye $y$ por $M$ .

$\frac{2 y^{2} + 1 - 1}{y}$

Paso 4.3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.2.1

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{2 y^{2} + 0}{y}$

Paso 4.3.2.2

Suma $2 y^{2}$ y $0$ .

$\frac{2 y^{2}}{y}$

Paso 4.3.3

Sustituye $y$ por $M$ .

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Paso 4.3.3.1

Factoriza $y$ de $2 y^{2}$ .

$\frac{y (2 y)}{y}$

Paso 4.3.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.3.3.2.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\frac{y (2 y)}{y^{1}}$

Paso 4.3.3.2.2

Factoriza $y$ de $y^{1}$ .

$\frac{y (2 y)}{y \cdot 1}$

Paso 4.3.3.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{y (2 y)}{y \cdot 1}$

Paso 4.3.3.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{2 y}{1}$

Paso 4.3.3.2.5

Divide $2 y$ por $1$ .

$2 y$

Paso 4.4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int 2 y d y}$

Paso 5

Evalúa la integral $e^{\int 2 y d y}$ .

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Paso 5.1

Dado que $2$ es constante con respecto a $y$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$μ (x, y) = e^{2 \int y d y}$

Paso 5.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$μ (x, y) = e^{2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)}$

Paso 5.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.3.1

Reescribe $e^{2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)}$ como $e^{2 (\frac{1}{2}) y^{2}} + C$ .

$μ (x, y) = e^{2 (\frac{1}{2}) y^{2}} + C$

Paso 5.3.2

Simplifica.

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Paso 5.3.2.1

Combina $2$ y $\frac{1}{2}$ .

$μ (x, y) = e^{\frac{2}{2} y^{2}} + C$

Paso 5.3.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$μ (x, y) = e^{\frac{2}{2} y^{2}} + C$

Paso 5.3.2.2.2

Reescribe la expresión.

$μ (x, y) = e^{1 y^{2}} + C$

Paso 5.3.2.3

Multiplica $y^{2}$ por $1$ .

$μ (x, y) = e^{y^{2}} + C$

Paso 6

Multiplica ambos lados de $y d x + (x + 2 x y^{2} - 2 y) d y = 0$ por el factor integrador $e^{y^{2}}$ .

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Paso 6.1

Multiplica $y$ por $e^{y^{2}}$ .

$y e^{y^{2}} d x + (x + 2 x y^{2} - 2 y) d y = 0$

Paso 6.2

Multiplica $x + 2 x y^{2} - 2 y$ por $e^{y^{2}}$ .

$y e^{y^{2}} d x + (x + 2 x y^{2} - 2 y) e^{y^{2}} d y = 0$

Paso 6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y e^{y^{2}} d x + (x e^{y^{2}} + 2 x y^{2} e^{y^{2}} - 2 y e^{y^{2}}) d y = 0$

Paso 7

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y e^{y^{2}} d x$

Paso 8

Integra $M (x, y) = y e^{y^{2}}$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 8.1

Aplica la regla de la constante.

$f (x, y) = y e^{y^{2}} x + C$

Paso 9

Como la integral de $g (y)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = y e^{y^{2}} x + g (y)$

Paso 10

Establece $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = x e^{y^{2}} + 2 x y^{2} e^{y^{2}} - 2 y e^{y^{2}}$

Paso 11

Obtén $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Paso 11.1

Diferencia $f$ con respecto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [y e^{y^{2}} x + g (y)] = x e^{y^{2}} + 2 x y^{2} e^{y^{2}} - 2 y e^{y^{2}}$

Paso 11.2

Según la regla de la suma, la derivada de $y e^{y^{2}} x + g (y)$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y e^{y^{2}} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y e^{y^{2}} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{y^{2}} + 2 x y^{2} e^{y^{2}} - 2 y e^{y^{2}}$

Paso 11.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [y e^{y^{2}} x]$ .

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Paso 11.3.1

Como $x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $y e^{y^{2}} x$ con respecto a $y$ es $x \frac{d}{d y} [y e^{y^{2}}]$ .

$x \frac{d}{d y} [y e^{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{y^{2}} + 2 x y^{2} e^{y^{2}} - 2 y e^{y^{2}}$

Paso 11.3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ es $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ donde $f (y) = y$ y $g (y) = e^{y^{2}}$ .

$x (y \frac{d}{d y} [e^{y^{2}}] + e^{y^{2}} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{y^{2}} + 2 x y^{2} e^{y^{2}} - 2 y e^{y^{2}}$

Paso 11.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ es $f' (g (y)) g' (y)$ donde $f (y) = e^{y}$ y $g (y) = y^{2}$ .

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Paso 11.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y^{2}$ .

$x (y (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [y^{2}]) + e^{y^{2}} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{y^{2}} + 2 x y^{2} e^{y^{2}} - 2 y e^{y^{2}}$

Paso 11.3.3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$x (y (e^{u} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + e^{y^{2}} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{y^{2}} + 2 x y^{2} e^{y^{2}} - 2 y e^{y^{2}}$

Paso 11.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y^{2}$ .

$x (y (e^{y^{2}} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + e^{y^{2}} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{y^{2}} + 2 x y^{2} e^{y^{2}} - 2 y e^{y^{2}}$

Paso 11.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x (y (e^{y^{2}} (2 y)) + e^{y^{2}} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{y^{2}} + 2 x y^{2} e^{y^{2}} - 2 y e^{y^{2}}$

Paso 11.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x (y (e^{y^{2}} (2 y)) + e^{y^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{y^{2}} + 2 x y^{2} e^{y^{2}} - 2 y e^{y^{2}}$

Paso 11.3.6

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$x (y^{1} y (e^{y^{2}} \cdot (2)) + e^{y^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{y^{2}} + 2 x y^{2} e^{y^{2}} - 2 y e^{y^{2}}$

Paso 11.3.7

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$x (y^{1} y^{1} (e^{y^{2}} \cdot (2)) + e^{y^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{y^{2}} + 2 x y^{2} e^{y^{2}} - 2 y e^{y^{2}}$

Paso 11.3.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x (y^{1 + 1} (e^{y^{2}} \cdot (2)) + e^{y^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{y^{2}} + 2 x y^{2} e^{y^{2}} - 2 y e^{y^{2}}$

Paso 11.3.9

Suma $1$ y $1$ .

$x (y^{2} (e^{y^{2}} \cdot (2)) + e^{y^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{y^{2}} + 2 x y^{2} e^{y^{2}} - 2 y e^{y^{2}}$

Paso 11.3.10

Mueve $2$ a la izquierda de $e^{y^{2}}$ .

$x (y^{2} (2 \cdot e^{y^{2}}) + e^{y^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{y^{2}} + 2 x y^{2} e^{y^{2}} - 2 y e^{y^{2}}$

Paso 11.3.11

Multiplica $e^{y^{2}}$ por $1$ .

$x (y^{2} (2 e^{y^{2}}) + e^{y^{2}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{y^{2}} + 2 x y^{2} e^{y^{2}} - 2 y e^{y^{2}}$

Paso 11.4

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (y)$ es $\frac{d g}{d y}$ .

$x (y^{2} (2 e^{y^{2}}) + e^{y^{2}}) + \frac{d g}{d y} = x e^{y^{2}} + 2 x y^{2} e^{y^{2}} - 2 y e^{y^{2}}$

Paso 11.5

Simplifica.

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Paso 11.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x (y^{2} (2 e^{y^{2}})) + x e^{y^{2}} + \frac{d g}{d y} = x e^{y^{2}} + 2 x y^{2} e^{y^{2}} - 2 y e^{y^{2}}$

Paso 11.5.2

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d y} + 2 e^{y^{2}} y^{2} x + e^{y^{2}} x = x e^{y^{2}} + 2 x y^{2} e^{y^{2}} - 2 y e^{y^{2}}$

Paso 11.5.3

Reordena los factores en $\frac{d g}{d y} + 2 e^{y^{2}} y^{2} x + e^{y^{2}} x$ .

$\frac{d g}{d y} + 2 y^{2} x e^{y^{2}} + x e^{y^{2}} = x e^{y^{2}} + 2 x y^{2} e^{y^{2}} - 2 y e^{y^{2}}$

Paso 12

Resuelve $\frac{d g}{d y}$

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Paso 12.1

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d g}{d y}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 12.1.1

Resta $2 y^{2} x e^{y^{2}}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d y} + x e^{y^{2}} = x e^{y^{2}} + 2 x y^{2} e^{y^{2}} - 2 y e^{y^{2}} - 2 y^{2} x e^{y^{2}}$

Paso 12.1.2

Resta $x e^{y^{2}}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d y} = x e^{y^{2}} + 2 x y^{2} e^{y^{2}} - 2 y e^{y^{2}} - 2 y^{2} x e^{y^{2}} - x e^{y^{2}}$

Paso 12.1.3

Combina los términos opuestos en $x e^{y^{2}} + 2 x y^{2} e^{y^{2}} - 2 y e^{y^{2}} - 2 y^{2} x e^{y^{2}} - x e^{y^{2}}$ .

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Paso 12.1.3.1

Reordena los factores en los términos $2 x y^{2} e^{y^{2}}$ y $- 2 y^{2} x e^{y^{2}}$ .

$\frac{d g}{d y} = x e^{y^{2}} + 2 e^{y^{2}} y^{2} x - 2 y e^{y^{2}} - 2 e^{y^{2}} y^{2} x - x e^{y^{2}}$

Paso 12.1.3.2

Resta $2 e^{y^{2}} y^{2} x$ de $2 e^{y^{2}} y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d y} = x e^{y^{2}} - 2 y e^{y^{2}} + 0 - x e^{y^{2}}$

Paso 12.1.3.3

Suma $x e^{y^{2}} - 2 y e^{y^{2}}$ y $0$ .

$\frac{d g}{d y} = x e^{y^{2}} - 2 y e^{y^{2}} - x e^{y^{2}}$

Paso 12.1.3.4

Resta $x e^{y^{2}}$ de $x e^{y^{2}}$ .

$\frac{d g}{d y} = - 2 y e^{y^{2}} + 0$

Paso 12.1.3.5

Suma $- 2 y e^{y^{2}}$ y $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - 2 y e^{y^{2}}$

Paso 13

Obtén la antiderivada de $- 2 y e^{y^{2}}$ y obtén $g (y)$ .

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Paso 13.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d y} = - 2 y e^{y^{2}}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - 2 y e^{y^{2}} d y$

Paso 13.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - 2 y e^{y^{2}} d y$

Paso 13.3

Dado que $- 2$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 2$ fuera de la integral.

$g (y) = - 2 \int y e^{y^{2}} d y$

Paso 13.4

Sea $u = y^{2}$ . Entonces $d u = 2 y d y$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = y d y$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 13.4.1

Deja $u = y^{2}$ . Obtén $\frac{d u}{d y}$ .

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Paso 13.4.1.1

Diferencia $y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 13.4.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 y$

Paso 13.4.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$g (y) = - 2 \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

Paso 13.5

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = - 2 \int \frac{e^{u}}{2} d u$

Paso 13.6

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$g (y) = - 2 (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

Paso 13.7

Simplifica.

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Paso 13.7.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 2$ .

$g (y) = \frac{- 2}{2} \int e^{u} d u$

Paso 13.7.2

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 13.7.2.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$g (y) = \frac{2 \cdot - 1}{2} \int e^{u} d u$

Paso 13.7.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 13.7.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$g (y) = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int e^{u} d u$

Paso 13.7.2.2.2

Cancela el factor común.

$g (y) = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int e^{u} d u$

Paso 13.7.2.2.3

Reescribe la expresión.

$g (y) = \frac{- 1}{1} \int e^{u} d u$

Paso 13.7.2.2.4

Divide $- 1$ por $1$ .

$g (y) = - \int e^{u} d u$

Paso 13.8

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$g (y) = - (e^{u} + C)$

Paso 13.9

Simplifica.

$g (y) = - e^{u} + C$

Paso 13.10

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y^{2}$ .

$g (y) = - e^{y^{2}} + C$

Paso 14

Sustituye por $g (y)$ en $f (x, y) = y e^{y^{2}} x + g (y)$ .

$f (x, y) = y e^{y^{2}} x - e^{y^{2}} + C$

Paso 15

Reordena los factores en $f (x, y) = y e^{y^{2}} x - e^{y^{2}} + C$ .

$f (x, y) = y x e^{y^{2}} - e^{y^{2}} + C$