Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 1}{e^{y}}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $e^{y}$ .

$e^{y} \frac{d y}{d x} = e^{y} \frac{x^{2} + 1}{e^{y}}$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $e^{y}$ .

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común.

$e^{y} \frac{d y}{d x} = e^{y} \frac{x^{2} + 1}{e^{y}}$

Paso 1.2.2

Reescribe la expresión.

$e^{y} \frac{d y}{d x} = x^{2} + 1$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$e^{y} d y = (x^{2} + 1) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int e^{y} d y = \int x^{2} + 1 d x$

Paso 2.2

La integral de $e^{y}$ con respecto a $y$ es $e^{y}$ .

$e^{y} + C_{1} = \int x^{2} + 1 d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$e^{y} + C_{1} = \int x^{2} d x + \int d x$

Paso 2.3.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$e^{y} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + \int d x$

Paso 2.3.3

Aplica la regla de la constante.

$e^{y} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + x + C_{3}$

Paso 2.3.4

Simplifica.

$e^{y} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + x + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$e^{y} = \frac{1}{3} x^{3} + x + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{y}) = \ln (\frac{x^{3}}{3} + x + K)$

Paso 3.2

Expande el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Expande $\ln (e^{y})$ ; para ello, mueve $y$ fuera del logaritmo.

$y \ln (e) = \ln (\frac{x^{3}}{3} + x + K)$

Paso 3.2.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (\frac{x^{3}}{3} + x + K)$

Paso 3.2.3

Multiplica $y$ por $1$ .

$y = \ln (\frac{x^{3}}{3} + x + K)$