Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = x^{3} - x^{2} + 2 x$ , $y (2) = 0$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d y = (x^{3} - x^{2} + 2 x) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int x^{3} - x^{2} + 2 x d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int x^{3} - x^{2} + 2 x d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$y + C_{1} = \int x^{3} d x + \int - x^{2} d x + \int 2 x d x$

Paso 2.3.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} + C_{2} + \int - x^{2} d x + \int 2 x d x$

Paso 2.3.3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} + C_{2} - \int x^{2} d x + \int 2 x d x$

Paso 2.3.4

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} + C_{2} - (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) + \int 2 x d x$

Paso 2.3.5

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} + C_{2} - (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) + 2 \int x d x$

Paso 2.3.6

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} + C_{2} - (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$

Paso 2.3.7

Simplifica.

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Paso 2.3.7.1

Simplifica.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{3} x^{3} + 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{5}$

Paso 2.3.7.2

Simplifica.

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Paso 2.3.7.2.1

Combina $2$ y $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{3} x^{3} + \frac{2}{2} x^{2} + C_{5}$

Paso 2.3.7.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.7.2.2.1

Cancela el factor común.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{3} x^{3} + \frac{2}{2} x^{2} + C_{5}$

Paso 2.3.7.2.2.2

Reescribe la expresión.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{3} x^{3} + 1 x^{2} + C_{5}$

Paso 2.3.7.2.3

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{3} x^{3} + x^{2} + C_{5}$

Paso 2.3.8

Reordena los términos.

$y + C_{1} = x^{2} + \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{3} x^{3} + C_{5}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y = x^{2} + \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{3} x^{3} + K$

Paso 3

Usa la condición inicial para obtener el valor de $K$ mediante la sustitución de $2$ por $x$ y de $0$ por $y$ en $y = x^{2} + \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{3} x^{3} + K$ .

$0 = 2^{2} + \frac{1}{4} \cdot 2^{4} - \frac{1}{3} \cdot 2^{3} + K$

Paso 4

Resuelve $K$

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $2^{2} + \frac{1}{4} \cdot 2^{4} - \frac{1}{3} \cdot 2^{3} + K = 0$ .

$2^{2} + \frac{1}{4} \cdot 2^{4} - \frac{1}{3} \cdot 2^{3} + K = 0$

Paso 4.2

Simplifica $2^{2} + \frac{1}{4} \cdot 2^{4} - \frac{1}{3} \cdot 2^{3} + K$ .

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$4 + \frac{1}{4} \cdot 2^{4} - \frac{1}{3} \cdot 2^{3} + K = 0$

Paso 4.2.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$4 + \frac{1}{4} \cdot 16 - \frac{1}{3} \cdot 2^{3} + K = 0$

Paso 4.2.1.3

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 4.2.1.3.1

Factoriza $4$ de $16$ .

$4 + \frac{1}{4} \cdot (4 (4)) - \frac{1}{3} \cdot 2^{3} + K = 0$

Paso 4.2.1.3.2

Cancela el factor común.

$4 + \frac{1}{4} \cdot (4 \cdot 4) - \frac{1}{3} \cdot 2^{3} + K = 0$

Paso 4.2.1.3.3

Reescribe la expresión.

$4 + 4 - \frac{1}{3} \cdot 2^{3} + K = 0$

Paso 4.2.1.4

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$4 + 4 - \frac{1}{3} \cdot 8 + K = 0$

Paso 4.2.1.5

Multiplica $- \frac{1}{3} \cdot 8$ .

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Paso 4.2.1.5.1

Multiplica $8$ por $- 1$ .

$4 + 4 - 8 (\frac{1}{3}) + K = 0$

Paso 4.2.1.5.2

Combina $- 8$ y $\frac{1}{3}$ .

$4 + 4 + \frac{- 8}{3} + K = 0$

Paso 4.2.1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$4 + 4 - \frac{8}{3} + K = 0$

Paso 4.2.2

Suma $4$ y $4$ .

$8 - \frac{8}{3} + K = 0$

Paso 4.2.3

Para escribir $8$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$8 \cdot \frac{3}{3} - \frac{8}{3} + K = 0$

Paso 4.2.4

Combina $8$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8 \cdot 3}{3} - \frac{8}{3} + K = 0$

Paso 4.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{8 \cdot 3 - 8}{3} + K = 0$

Paso 4.2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.6.1

Multiplica $8$ por $3$ .

$\frac{24 - 8}{3} + K = 0$

Paso 4.2.6.2

Resta $8$ de $24$ .

$\frac{16}{3} + K = 0$

Paso 4.3

Resta $\frac{16}{3}$ de ambos lados de la ecuación.

$K = - \frac{16}{3}$

Paso 5

Sustituye $- \frac{16}{3}$ por $K$ en $y = x^{2} + \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{3} x^{3} + K$ y simplifica.

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Paso 5.1

Sustituye $- \frac{16}{3}$ por $K$ .

$y = x^{2} + \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{3} x^{3} - \frac{16}{3}$

Paso 5.2

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1

Combina $\frac{1}{4}$ y $x^{4}$ .

$y = x^{2} + \frac{x^{4}}{4} - \frac{1}{3} x^{3} - \frac{16}{3}$

Paso 5.2.2

Combina $x^{3}$ y $\frac{1}{3}$ .

$y = x^{2} + \frac{x^{4}}{4} - \frac{x^{3}}{3} - \frac{16}{3}$