Cálculo Ejemplos

$(1 + y) d x = (1 - x) d y$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$(1 - x) d y = (1 + y) d x$

Paso 2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{(1 - x) (1 + y)}$ .

$\frac{1}{(1 - x) (1 + y)} (1 - x) d y = \frac{1}{(1 - x) (1 + y)} (1 + y) d x$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Cancela el factor común de $1 - x$ .

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Paso 3.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{(1 - x) (1 + y)} (1 - x) d y = \frac{1}{(1 - x) (1 + y)} (1 + y) d x$

Paso 3.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{1 + y} d y = \frac{1}{(1 - x) (1 + y)} (1 + y) d x$

Paso 3.2

Cancela el factor común de $1 + y$ .

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Paso 3.2.1

Factoriza $1 + y$ de $(1 - x) (1 + y)$ .

$\frac{1}{1 + y} d y = \frac{1}{(1 + y) (1 - x)} (1 + y) d x$

Paso 3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{1 + y} d y = \frac{1}{(1 + y) (1 - x)} (1 + y) d x$

Paso 3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{1 + y} d y = \frac{1}{1 - x} d x$

Paso 4

Integra ambos lados.

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Paso 4.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{1 + y} d y = \int \frac{1}{1 - x} d x$

Paso 4.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Sea $u_{1} = 1 + y$ . Entonces $d u_{1} = d y$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 4.2.1.1

Deja $u_{1} = 1 + y$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Paso 4.2.1.1.1

Diferencia $1 + y$ .

$\frac{d}{d y} [1 + y]$

Paso 4.2.1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + y$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$

Paso 4.2.1.1.3

Como $1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $1$ con respecto a $y$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

Paso 4.2.1.1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 + 1$

Paso 4.2.1.1.5

Suma $0$ y $1$ .

$1$

Paso 4.2.1.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{1}{1 - x} d x$

Paso 4.2.2

La integral de $\frac{1}{u_{1}}$ con respecto a $u_{1}$ es $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{1}{1 - x} d x$

Paso 4.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $1 + y$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \int \frac{1}{1 - x} d x$

Paso 4.3

Integra el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Sea $u_{2} = 1 - x$ . Entonces $d u_{2} = - d x$ , de modo que $- d u_{2} = d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 4.3.1.1

Deja $u_{2} = 1 - x$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 4.3.1.1.1

Reescribe.

$\frac{- 1}{1}$

Paso 4.3.1.1.2

Divide $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 4.3.1.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \int \frac{- 1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 4.3.2

Divide la fracción en varias fracciones.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 4.3.3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 4.3.4

La integral de $\frac{1}{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = - (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Paso 4.3.5

Simplifica.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = - \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Paso 4.3.6

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $1 - x$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = - \ln (| 1 - x |) + C_{2}$

Paso 4.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\ln (| 1 + y |) = - \ln (| 1 - x |) + C$

Paso 5

Resuelve $y$

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Paso 5.1

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\ln (| 1 + y |) + \ln (| 1 - x |) = C$

Paso 5.2

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| 1 + y | | 1 - x |) = C$

Paso 5.3

Para multiplicar valores absolutos, multiplica los términos dentro de cada valor absoluto.

$\ln (| (1 + y) (1 - x) |) = C$

Paso 5.4

Expande $(1 + y) (1 - x)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (| 1 (1 - x) + y (1 - x) |) = C$

Paso 5.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (| 1 \cdot 1 + 1 (- x) + y (1 - x) |) = C$

Paso 5.4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (| 1 \cdot 1 + 1 (- x) + y \cdot 1 + y (- x) |) = C$

Paso 5.5

Simplifica cada término.

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Paso 5.5.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$\ln (| 1 + 1 (- x) + y \cdot 1 + y (- x) |) = C$

Paso 5.5.2

Multiplica $- x$ por $1$ .

$\ln (| 1 - x + y \cdot 1 + y (- x) |) = C$

Paso 5.5.3

Multiplica $y$ por $1$ .

$\ln (| 1 - x + y + y (- x) |) = C$

Paso 5.5.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\ln (| 1 - x + y - y x |) = C$

Paso 5.6

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (| 1 - x + y - y x |)} = e^{C}$

Paso 5.7

Reescribe $\ln (| 1 - x + y - y x |) = C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = | 1 - x + y - y x |$

Paso 5.8

Resuelve $y$

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Paso 5.8.1

Reescribe la ecuación como $| 1 - x + y - y x | = e^{C}$ .

$| 1 - x + y - y x | = e^{C}$

Paso 5.8.2

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$1 - x + y - y x = \pm e^{C}$

Paso 5.8.3

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.8.3.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- x + y - y x = \pm e^{C} - 1$

Paso 5.8.3.2

Suma $x$ a ambos lados de la ecuación.

$y - y x = \pm e^{C} - 1 + x$

Paso 5.8.4

Factoriza $y$ de $y - y x$ .

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Paso 5.8.4.1

Factoriza $y$ de $y^{1}$ .

$y \cdot 1 - y x = \pm e^{C} - 1 + x$

Paso 5.8.4.2

Factoriza $y$ de $- y x$ .

$y \cdot 1 + y (- 1 x) = \pm e^{C} - 1 + x$

Paso 5.8.4.3

Factoriza $y$ de $y \cdot 1 + y (- 1 x)$ .

$y (1 - 1 x) = \pm e^{C} - 1 + x$

Paso 5.8.5

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$y (1 - x) = \pm e^{C} - 1 + x$

Paso 5.8.6

Divide cada término en $y (1 - x) = \pm e^{C} - 1 + x$ por $1 - x$ y simplifica.

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Paso 5.8.6.1

Divide cada término en $y (1 - x) = \pm e^{C} - 1 + x$ por $1 - x$ .

$\frac{y (1 - x)}{1 - x} = \frac{\pm e^{C}}{1 - x} + \frac{- 1}{1 - x} + \frac{x}{1 - x}$

Paso 5.8.6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.8.6.2.1

Cancela el factor común de $1 - x$ .

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Paso 5.8.6.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y (1 - x)}{1 - x} = \frac{\pm e^{C}}{1 - x} + \frac{- 1}{1 - x} + \frac{x}{1 - x}$

Paso 5.8.6.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\pm e^{C}}{1 - x} + \frac{- 1}{1 - x} + \frac{x}{1 - x}$

Paso 5.8.6.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.8.6.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = \frac{\pm e^{C}}{1 - x} - \frac{1}{1 - x} + \frac{x}{1 - x}$

Paso 5.8.6.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{\pm e^{C} - 1}{1 - x} + \frac{x}{1 - x}$

Paso 5.8.6.3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{\pm e^{C} - 1 + x}{1 - x}$

Paso 6

Simplifica la constante de integración.

$y = \frac{C + x}{1 - x}$