Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = 4 \cdot x^{3} - 3 \cdot x^{2} + x$ , $y (1) = 0$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d y = (4 \cdot x^{3} - 3 \cdot x^{2} + x) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int 4 \cdot x^{3} - 3 \cdot x^{2} + x d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int 4 \cdot x^{3} - 3 \cdot x^{2} + x d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$y + C_{1} = \int 4 \cdot x^{3} d x + \int - 3 \cdot x^{2} d x + \int x d x$

Paso 2.3.2

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = 4 \int x^{3} d x + \int - 3 \cdot x^{2} d x + \int x d x$

Paso 2.3.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) + \int - 3 \cdot x^{2} d x + \int x d x$

Paso 2.3.4

Dado que $- 3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 3$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) - 3 \int x^{2} d x + \int x d x$

Paso 2.3.5

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) + \int x d x$

Paso 2.3.6

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) + \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$

Paso 2.3.7

Simplifica.

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Paso 2.3.7.1

Simplifica.

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Paso 2.3.7.1.1

Combina $\frac{1}{4}$ y $x^{4}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{2}) - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) + \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$

Paso 2.3.7.1.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{2}) - 3 (\frac{x^{3}}{3} + C_{3}) + \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$

Paso 2.3.7.2

Simplifica.

$y + C_{1} = x^{4} - x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + C_{5}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y = x^{4} - x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + K$

Paso 3

Usa la condición inicial para obtener el valor de $K$ mediante la sustitución de $1$ por $x$ y de $0$ por $y$ en $y = x^{4} - x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + K$ .

$0 = 1^{4} - 1^{3} + \frac{1}{2} \cdot 1^{2} + K$

Paso 4

Resuelve $K$

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $1^{4} - 1^{3} + \frac{1}{2} \cdot 1^{2} + K = 0$ .

$1^{4} - 1^{3} + \frac{1}{2} \cdot 1^{2} + K = 0$

Paso 4.2

Simplifica $1^{4} - 1^{3} + \frac{1}{2} \cdot 1^{2} + K$ .

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$1 - 1^{3} + \frac{1}{2} \cdot 1^{2} + K = 0$

Paso 4.2.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$1 - 1 \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot 1^{2} + K = 0$

Paso 4.2.1.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$1 - 1 + \frac{1}{2} \cdot 1^{2} + K = 0$

Paso 4.2.1.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$1 - 1 + \frac{1}{2} \cdot 1 + K = 0$

Paso 4.2.1.5

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$1 - 1 + \frac{1}{2} + K = 0$

Paso 4.2.2

Simplifica mediante la resta de números.

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Paso 4.2.2.1

Resta $1$ de $1$ .

$0 + \frac{1}{2} + K = 0$

Paso 4.2.2.2

Suma $0$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} + K = 0$

Paso 4.3

Resta $\frac{1}{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$K = - \frac{1}{2}$

Paso 5

Sustituye $- \frac{1}{2}$ por $K$ en $y = x^{4} - x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + K$ y simplifica.

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Paso 5.1

Sustituye $- \frac{1}{2}$ por $K$ .

$y = x^{4} - x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2}$

Paso 5.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$y = x^{4} - x^{3} + \frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{2}$