Cálculo Ejemplos

$2 x^{2} + 2 x y y' = x^{2} + y^{2}$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial.

$2 x^{2} + 2 x y \frac{d y}{d x} = x^{2} + y^{2}$

Paso 2

Reescribe la ecuación diferencial como una función de $\frac{y}{x}$ .

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Paso 2.1

Resuelve $\frac{d y}{d x}$

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Paso 2.1.1

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d y}{d x}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.1.1.1

Resta $2 x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x y \frac{d y}{d x} = x^{2} + y^{2} - 2 x^{2}$

Paso 2.1.1.2

Resta $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$2 x y \frac{d y}{d x} = - x^{2} + y^{2}$

Paso 2.1.2

Divide cada término en $2 x y \frac{d y}{d x} = - x^{2} + y^{2}$ por $2 x y$ y simplifica.

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Paso 2.1.2.1

Divide cada término en $2 x y \frac{d y}{d x} = - x^{2} + y^{2}$ por $2 x y$ .

$\frac{2 x y \frac{d y}{d x}}{2 x y} = \frac{- x^{2}}{2 x y} + \frac{y^{2}}{2 x y}$

Paso 2.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.1.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x y \frac{d y}{d x}}{2 x y} = \frac{- x^{2}}{2 x y} + \frac{y^{2}}{2 x y}$

Paso 2.1.2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{- x^{2}}{2 x y} + \frac{y^{2}}{2 x y}$

Paso 2.1.2.2.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 2.1.2.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{- x^{2}}{2 x y} + \frac{y^{2}}{2 x y}$

Paso 2.1.2.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{- x^{2}}{2 x y} + \frac{y^{2}}{2 x y}$

Paso 2.1.2.2.3

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 2.1.2.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{- x^{2}}{2 x y} + \frac{y^{2}}{2 x y}$

Paso 2.1.2.2.3.2

Divide $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x^{2}}{2 x y} + \frac{y^{2}}{2 x y}$

Paso 2.1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.3.1.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x$ .

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Paso 2.1.2.3.1.1.1

Factoriza $x$ de $- x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (- x)}{2 x y} + \frac{y^{2}}{2 x y}$

Paso 2.1.2.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.1.2.3.1.1.2.1

Factoriza $x$ de $2 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (- x)}{x (2 y)} + \frac{y^{2}}{2 x y}$

Paso 2.1.2.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (- x)}{x (2 y)} + \frac{y^{2}}{2 x y}$

Paso 2.1.2.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x}{2 y} + \frac{y^{2}}{2 x y}$

Paso 2.1.2.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{2 y} + \frac{y^{2}}{2 x y}$

Paso 2.1.2.3.1.3

Cancela el factor común de $y^{2}$ y $y$ .

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Paso 2.1.2.3.1.3.1

Factoriza $y$ de $y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{2 y} + \frac{y \cdot y}{2 x y}$

Paso 2.1.2.3.1.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.1.2.3.1.3.2.1

Factoriza $y$ de $2 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{2 y} + \frac{y \cdot y}{y (2 x)}$

Paso 2.1.2.3.1.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{2 y} + \frac{y \cdot y}{y (2 x)}$

Paso 2.1.2.3.1.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{2 y} + \frac{y}{2 x}$

Paso 2.2

Reescribe la ecuación diferencial como $f (\frac{y}{x})$ .

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Paso 2.2.1

Factoriza $\frac{x}{y}$ de $\frac{x}{2 y}$ .

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Paso 2.2.1.1

Factoriza $\frac{x}{y}$ de $\frac{x}{2 y}$ .

$\frac{d y}{d x} = - (\frac{x}{y} \cdot \frac{1}{2}) + \frac{y}{2 x}$

Paso 2.2.1.2

Reordena $\frac{x}{y}$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = - (\frac{1}{2} \cdot \frac{x}{y}) + \frac{y}{2 x}$

Paso 2.2.2

Reescribe $\frac{x}{y}$ como ${(\frac{y}{x})}^{- 1}$ .

$\frac{d y}{d x} = - (\frac{1}{2} {(\frac{y}{x})}^{- 1}) + \frac{y}{2 x}$

Paso 2.3

Factoriza $\frac{y}{x}$ de $\frac{y}{2 x}$ .

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Paso 2.3.1

Factoriza $\frac{y}{x}$ de $\frac{y}{2 x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - (\frac{1}{2} {(\frac{y}{x})}^{- 1}) + \frac{y}{x} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 2.3.2

Reordena $\frac{y}{x}$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = - (\frac{1}{2} {(\frac{y}{x})}^{- 1}) + \frac{1}{2} \cdot \frac{y}{x}$

Paso 3

Sea $V = \frac{y}{x}$ . Sustituye $V$ por $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - (\frac{1}{2} V^{- 1}) + \frac{1}{2} V$

Paso 4

Resuelve $V = \frac{y}{x}$ en $y$ .

$y = V x$

Paso 5

Usa la regla del producto para obtener la derivada de $y = V x$ con respecto a $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Paso 6

Sustituye $x \frac{d V}{d x} + V$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = - (\frac{1}{2} V^{- 1}) + \frac{1}{2} V$

Paso 7

Resuelve la ecuación diferencial sustituida.

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Paso 7.1

Separa las variables.

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Paso 7.1.1

Resuelve $\frac{d V}{d x}$

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Paso 7.1.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.1.1.1.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{V} + \frac{1}{2} V$

Paso 7.1.1.1.2

Multiplica $\frac{1}{V}$ por $\frac{1}{2}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = - \frac{1}{V \cdot 2} + \frac{1}{2} V$

Paso 7.1.1.1.3

Mueve $2$ a la izquierda de $V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = - \frac{1}{2 \cdot V} + \frac{1}{2} V$

Paso 7.1.1.1.4

Combina $\frac{1}{2}$ y $V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = - \frac{1}{2 V} + \frac{V}{2}$

Paso 7.1.1.2

Resta $V$ de ambos lados de la ecuación.

$x \frac{d V}{d x} = - \frac{1}{2 V} + \frac{V}{2} - V$

Paso 7.1.1.3

Divide cada término en $x \frac{d V}{d x} = - \frac{1}{2 V} + \frac{V}{2} - V$ por $x$ y simplifica.

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Paso 7.1.1.3.1

Divide cada término en $x \frac{d V}{d x} = - \frac{1}{2 V} + \frac{V}{2} - V$ por $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{- \frac{1}{2 V}}{x} + \frac{\frac{V}{2}}{x} + \frac{- V}{x}$

Paso 7.1.1.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.1.1.3.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 7.1.1.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{- \frac{1}{2 V}}{x} + \frac{\frac{V}{2}}{x} + \frac{- V}{x}$

Paso 7.1.1.3.2.1.2

Divide $\frac{d V}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{2 V}}{x} + \frac{\frac{V}{2}}{x} + \frac{- V}{x}$

Paso 7.1.1.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.1.1.3.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{2 V} + \frac{V}{2} - V}{x}$

Paso 7.1.1.3.3.2

Para escribir $- V$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{2 V} + \frac{V}{2} - V \cdot \frac{2}{2}}{x}$

Paso 7.1.1.3.3.3

Simplifica los términos.

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Paso 7.1.1.3.3.3.1

Combina $- V$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{2 V} + \frac{V}{2} + \frac{- V \cdot 2}{2}}{x}$

Paso 7.1.1.3.3.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{2 V} + \frac{V - V \cdot 2}{2}}{x}$

Paso 7.1.1.3.3.3.3

Simplifica cada término.

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Paso 7.1.1.3.3.3.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1.1.3.3.3.3.1.1

Factoriza $V$ de $V - V \cdot 2$ .

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Paso 7.1.1.3.3.3.3.1.1.1

Eleva $V$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{2 V} + \frac{V^{1} - V \cdot 2}{2}}{x}$

Paso 7.1.1.3.3.3.3.1.1.2

Factoriza $V$ de $V^{1}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{2 V} + \frac{V \cdot 1 - V \cdot 2}{2}}{x}$

Paso 7.1.1.3.3.3.3.1.1.3

Factoriza $V$ de $- V \cdot 2$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{2 V} + \frac{V \cdot 1 + V (- 1 \cdot 2)}{2}}{x}$

Paso 7.1.1.3.3.3.3.1.1.4

Factoriza $V$ de $V \cdot 1 + V (- 1 \cdot 2)$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{2 V} + \frac{V (1 - 1 \cdot 2)}{2}}{x}$

Paso 7.1.1.3.3.3.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{2 V} + \frac{V (1 - 2)}{2}}{x}$

Paso 7.1.1.3.3.3.3.1.3

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{2 V} + \frac{V \cdot - 1}{2}}{x}$

Paso 7.1.1.3.3.3.3.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{2 V} + \frac{- 1 \cdot V}{2}}{x}$

Paso 7.1.1.3.3.3.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{2 V} - \frac{V}{2}}{x}$

Paso 7.1.1.3.3.4

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1.1.3.3.4.1

Factoriza $- 1$ de $- \frac{1}{2 V} - \frac{V}{2}$ .

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Paso 7.1.1.3.3.4.1.1

Reordena $- \frac{1}{2 V}$ y $- \frac{V}{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{V}{2} - \frac{1}{2 V}}{x}$

Paso 7.1.1.3.3.4.1.2

Factoriza $- 1$ de $- \frac{V}{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- (\frac{V}{2}) - \frac{1}{2 V}}{x}$

Paso 7.1.1.3.3.4.1.3

Factoriza $- 1$ de $- \frac{1}{2 V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- (\frac{V}{2}) - (\frac{1}{2 V})}{x}$

Paso 7.1.1.3.3.4.1.4

Factoriza $- 1$ de $- (\frac{V}{2}) - (\frac{1}{2 V})$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- (\frac{V}{2} + \frac{1}{2 V})}{x}$

Paso 7.1.1.3.3.4.2

Para escribir $\frac{V}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{V}{V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- (\frac{V}{2} \cdot \frac{V}{V} + \frac{1}{2 V})}{x}$

Paso 7.1.1.3.3.4.3

Multiplica $\frac{V}{2}$ por $\frac{V}{V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- (\frac{V \cdot V}{2 V} + \frac{1}{2 V})}{x}$

Paso 7.1.1.3.3.4.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{V \cdot V + 1}{2 V}}{x}$

Paso 7.1.1.3.3.4.5

Multiplica $V$ por $V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{V^{2} + 1}{2 V}}{x}$

Paso 7.1.1.3.3.5

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{d V}{d x} = - \frac{V^{2} + 1}{2 V} \cdot \frac{1}{x}$

Paso 7.1.1.3.3.6

Multiplica $\frac{1}{x}$ por $\frac{V^{2} + 1}{2 V}$ .

$\frac{d V}{d x} = - \frac{V^{2} + 1}{x (2 V)}$

Paso 7.1.1.3.3.7

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{d V}{d x} = - \frac{V^{2} + 1}{2 x V}$

Paso 7.1.2

Reagrupa los factores.

$\frac{d V}{d x} = - \frac{V^{2} + 1}{2 V} \cdot \frac{1}{x}$

Paso 7.1.3

Multiplica ambos lados por $\frac{2 V}{V^{2} + 1}$ .

$\frac{2 V}{V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V}{V^{2} + 1} (- \frac{V^{2} + 1}{2 V} \cdot \frac{1}{x})$

Paso 7.1.4

Simplifica.

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Paso 7.1.4.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{2 V}{V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = - \frac{2 V}{V^{2} + 1} (\frac{V^{2} + 1}{2 V} \cdot \frac{1}{x})$

Paso 7.1.4.2

Multiplica $\frac{V^{2} + 1}{2 V}$ por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{2 V}{V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = - \frac{2 V}{V^{2} + 1} \cdot \frac{V^{2} + 1}{2 V x}$

Paso 7.1.4.3

Cancela el factor común de $2 V$ .

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Paso 7.1.4.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{2 V}{V^{2} + 1}$ al numerador.

$\frac{2 V}{V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = \frac{- 2 V}{V^{2} + 1} \cdot \frac{V^{2} + 1}{2 V x}$

Paso 7.1.4.3.2

Factoriza $2 V$ de $- 2 V$ .

$\frac{2 V}{V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V (- 1)}{V^{2} + 1} \cdot \frac{V^{2} + 1}{2 V x}$

Paso 7.1.4.3.3

Factoriza $2 V$ de $2 V x$ .

$\frac{2 V}{V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V (- 1)}{V^{2} + 1} \cdot \frac{V^{2} + 1}{2 V (x)}$

Paso 7.1.4.3.4

Cancela el factor común.

$\frac{2 V}{V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V \cdot - 1}{V^{2} + 1} \cdot \frac{V^{2} + 1}{2 V x}$

Paso 7.1.4.3.5

Reescribe la expresión.

$\frac{2 V}{V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{V^{2} + 1} \cdot \frac{V^{2} + 1}{x}$

Paso 7.1.4.4

Cancela el factor común de $V^{2} + 1$ .

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Paso 7.1.4.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 V}{V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{V^{2} + 1} \cdot \frac{V^{2} + 1}{x}$

Paso 7.1.4.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2 V}{V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = - \frac{1}{x}$

Paso 7.1.5

Reescribe la ecuación.

$\frac{2 V}{V^{2} + 1} d V = - \frac{1}{x} d x$

Paso 7.2

Integra ambos lados.

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Paso 7.2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{2 V}{V^{2} + 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 7.2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 7.2.2.1

Dado que $2$ es constante con respecto a $V$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int \frac{V}{V^{2} + 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 7.2.2.2

Sea $u = V^{2} + 1$ . Entonces $d u = 2 V d V$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = V d V$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 7.2.2.2.1

Deja $u = V^{2} + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d V}$ .

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Paso 7.2.2.2.1.1

Diferencia $V^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d V} [V^{2} + 1]$

Paso 7.2.2.2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $V^{2} + 1$ con respecto a $V$ es $\frac{d}{d V} [V^{2}] + \frac{d}{d V} [1]$ .

$\frac{d}{d V} [V^{2}] + \frac{d}{d V} [1]$

Paso 7.2.2.2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ es $n V^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 V + \frac{d}{d V} [1]$

Paso 7.2.2.2.1.4

Como $1$ es constante con respecto a $V$ , la derivada de $1$ con respecto a $V$ es $0$ .

$2 V + 0$

Paso 7.2.2.2.1.5

Suma $2 V$ y $0$ .

$2 V$

Paso 7.2.2.2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 7.2.2.3

Simplifica.

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Paso 7.2.2.3.1

Multiplica $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 7.2.2.3.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u$ .

$2 \int \frac{1}{2 u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 7.2.2.4

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 7.2.2.5

Simplifica.

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Paso 7.2.2.5.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 7.2.2.5.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.2.2.5.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 7.2.2.5.2.2

Reescribe la expresión.

$1 \int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 7.2.2.5.3

Multiplica $\int \frac{1}{u} d u$ por $1$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 7.2.2.6

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 7.2.2.7

Reemplaza todos los casos de $u$ con $V^{2} + 1$ .

$\ln (| V^{2} + 1 |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 7.2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 7.2.3.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\ln (| V^{2} + 1 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

Paso 7.2.3.2

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$\ln (| V^{2} + 1 |) + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

Paso 7.2.3.3

Simplifica.

$\ln (| V^{2} + 1 |) + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

Paso 7.2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\ln (| V^{2} + 1 |) = - \ln (| x |) + C$

Paso 7.3

Resuelve $V$

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Paso 7.3.1

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\ln (| V^{2} + 1 |) + \ln (| x |) = C$

Paso 7.3.2

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| V^{2} + 1 | | x |) = C$

Paso 7.3.3

Para multiplicar valores absolutos, multiplica los términos dentro de cada valor absoluto.

$\ln (| (V^{2} + 1) x |) = C$

Paso 7.3.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (| V^{2} x + 1 x |) = C$

Paso 7.3.5

Multiplica $x$ por $1$ .

$\ln (| V^{2} x + x |) = C$

Paso 7.3.6

Para resolver $V$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (| V^{2} x + x |)} = e^{C}$

Paso 7.3.7

Reescribe $\ln (| V^{2} x + x |) = C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = | V^{2} x + x |$

Paso 7.3.8

Resuelve $V$

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Paso 7.3.8.1

Reescribe la ecuación como $| V^{2} x + x | = e^{C}$ .

$| V^{2} x + x | = e^{C}$

Paso 7.3.8.2

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$V^{2} x + x = \pm e^{C}$

Paso 7.3.8.3

Resta $x$ de ambos lados de la ecuación.

$V^{2} x = \pm e^{C} - x$

Paso 7.3.8.4

Divide cada término en $V^{2} x = \pm e^{C} - x$ por $x$ y simplifica.

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Paso 7.3.8.4.1

Divide cada término en $V^{2} x = \pm e^{C} - x$ por $x$ .

$\frac{V^{2} x}{x} = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{- x}{x}$

Paso 7.3.8.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.3.8.4.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 7.3.8.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{V^{2} x}{x} = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{- x}{x}$

Paso 7.3.8.4.2.1.2

Divide $V^{2}$ por $1$ .

$V^{2} = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{- x}{x}$

Paso 7.3.8.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.3.8.4.3.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 7.3.8.4.3.1.1

Cancela el factor común.

$V^{2} = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{- x}{x}$

Paso 7.3.8.4.3.1.2

Divide $- 1$ por $1$ .

$V^{2} = \frac{\pm e^{C}}{x} - 1$

Paso 7.3.8.5

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$V = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{C}}{x} - 1}$

Paso 7.3.8.6

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{\pm e^{C}}{x} - 1}$ .

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Paso 7.3.8.6.1

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x}{x}$ .

$V = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{C}}{x} - 1 \cdot \frac{x}{x}}$

Paso 7.3.8.6.2

Combina $- 1$ y $\frac{x}{x}$ .

$V = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{- x}{x}}$

Paso 7.3.8.6.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$V = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{C} - x}{x}}$

Paso 7.3.8.6.4

Reescribe $\sqrt{\frac{\pm e^{C} - x}{x}}$ como $\frac{\sqrt{\pm e^{C} - x}}{\sqrt{x}}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} - x}}{\sqrt{x}}$

Paso 7.3.8.6.5

Multiplica $\frac{\sqrt{\pm e^{C} - x}}{\sqrt{x}}$ por $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} - x}}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$

Paso 7.3.8.6.6

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 7.3.8.6.6.1

Multiplica $\frac{\sqrt{\pm e^{C} - x}}{\sqrt{x}}$ por $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} - x} \sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}}$

Paso 7.3.8.6.6.2

Eleva $\sqrt{x}$ a la potencia de $1$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} - x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}}$

Paso 7.3.8.6.6.3

Eleva $\sqrt{x}$ a la potencia de $1$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} - x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}}$

Paso 7.3.8.6.6.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} - x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1 + 1}}$

Paso 7.3.8.6.6.5

Suma $1$ y $1$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} - x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Paso 7.3.8.6.6.6

Reescribe ${\sqrt{x}}^{2}$ como $x$ .

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Paso 7.3.8.6.6.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} - x} \sqrt{x}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 7.3.8.6.6.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} - x} \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 7.3.8.6.6.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} - x} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

Paso 7.3.8.6.6.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.3.8.6.6.6.4.1

Cancela el factor común.

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} - x} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

Paso 7.3.8.6.6.6.4.2

Reescribe la expresión.

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} - x} \sqrt{x}}{x^{1}}$

Paso 7.3.8.6.6.6.5

Simplifica.

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} - x} \sqrt{x}}{x}$

Paso 7.3.8.6.7

Combina con la regla del producto para radicales.

$V = \pm \frac{\sqrt{(\pm e^{C} - x) x}}{x}$

Paso 7.3.8.6.8

Reordena los factores en $\pm \frac{\sqrt{(\pm e^{C} - x) x}}{x}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{x (\pm e^{C} - x)}}{x}$

Paso 7.4

Simplifica la constante de integración.

$V = \pm \frac{\sqrt{x (C - x)}}{x}$

Paso 8

Sustituye $\frac{y}{x}$ por $V$ .

$\frac{y}{x} = \pm \frac{\sqrt{x (C - x)}}{x}$

Paso 9

Resuelve $\frac{y}{x} = \pm \frac{\sqrt{x (C - x)}}{x}$ en $y$ .

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Paso 9.1

Multiplica ambos lados por $x$ .

$\frac{y}{x} x = (\pm \frac{\sqrt{x (C - x)}}{x}) x$

Paso 9.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 9.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 9.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y}{x} x = (\pm \frac{\sqrt{x (C - x)}}{x}) x$

Paso 9.2.1.2

Reescribe la expresión.

$y = (\pm \frac{\sqrt{x (C - x)}}{x}) x$