Cálculo Ejemplos

$x \frac{d y}{d x} - 2 x^{2} y = e^{x^{2}}$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial como $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Paso 1.1

Divide cada término en $x \frac{d y}{d x} - 2 x^{2} y = e^{x^{2}}$ por $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- 2 x^{2} y}{x} = \frac{e^{x^{2}}}{x}$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- 2 x^{2} y}{x} = \frac{e^{x^{2}}}{x}$

Paso 1.2.2

Divide $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 x^{2} y}{x} = \frac{e^{x^{2}}}{x}$

Paso 1.3

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x$ .

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Paso 1.3.1

Factoriza $x$ de $- 2 x^{2} y$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{x (- 2 x y)}{x} = \frac{e^{x^{2}}}{x}$

Paso 1.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.3.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{x (- 2 x y)}{x^{1}} = \frac{e^{x^{2}}}{x}$

Paso 1.3.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{x (- 2 x y)}{x \cdot 1} = \frac{e^{x^{2}}}{x}$

Paso 1.3.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} + \frac{x (- 2 x y)}{x \cdot 1} = \frac{e^{x^{2}}}{x}$

Paso 1.3.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 x y}{1} = \frac{e^{x^{2}}}{x}$

Paso 1.3.2.5

Divide $- 2 x y$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} - 2 x y = \frac{e^{x^{2}}}{x}$

Paso 2

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = - 2 x$ .

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Paso 2.1

Establece la integración.

$e^{\int - 2 x d x}$

Paso 2.2

Integra $- 2 x$ .

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Paso 2.2.1

Dado que $- 2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 2$ fuera de la integral.

$e^{- 2 \int x d x}$

Paso 2.2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$

Paso 2.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.2.3.1

Reescribe $- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ como $- 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$e^{- 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C}$

Paso 2.2.3.2

Simplifica.

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Paso 2.2.3.2.1

Combina $- 2$ y $\frac{1}{2}$ .

$e^{\frac{- 2}{2} x^{2} + C}$

Paso 2.2.3.2.2

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 2.2.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$e^{\frac{2 \cdot - 1}{2} x^{2} + C}$

Paso 2.2.3.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.3.2.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} x^{2} + C}$

Paso 2.2.3.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} x^{2} + C}$

Paso 2.2.3.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$e^{\frac{- 1}{1} x^{2} + C}$

Paso 2.2.3.2.2.2.4

Divide $- 1$ por $1$ .

$e^{- x^{2} + C}$

Paso 2.3

Elimina la constante de integración.

$e^{- x^{2}}$

Paso 3

Multiplica cada término por el factor integrador $e^{- x^{2}}$ .

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Paso 3.1

Multiplica cada término por $e^{- x^{2}}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} + e^{- x^{2}} (- 2 x y) = e^{- x^{2}} \frac{e^{x^{2}}}{x}$

Paso 3.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x y) = e^{- x^{2}} \frac{e^{x^{2}}}{x}$

Paso 3.3

Multiplica $e^{- x^{2}} \frac{e^{x^{2}}}{x}$ .

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Paso 3.3.1

Combina $e^{- x^{2}}$ y $\frac{e^{x^{2}}}{x}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x y) = \frac{e^{- x^{2}} e^{x^{2}}}{x}$

Paso 3.3.2

Multiplica $e^{- x^{2}}$ por $e^{x^{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.2.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x y) = \frac{e^{- x^{2} + x^{2}}}{x}$

Paso 3.3.2.2

Suma $- x^{2}$ y $x^{2}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x y) = \frac{e^{0}}{x}$

Paso 3.3.3

Simplifica $e^{0}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x y) = \frac{1}{x}$

Paso 3.4

Reordena los factores en $e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x y) = \frac{1}{x}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 x y e^{- x^{2}} = \frac{1}{x}$

Paso 4

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{2}} y] = \frac{1}{x}$

Paso 5

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}} y] d x = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6

Integra el lado izquierdo.

$e^{- x^{2}} y = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 7

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$e^{- x^{2}} y = \ln (| x |) + C$

Paso 8

Divide cada término en $e^{- x^{2}} y = \ln (| x |) + C$ por $e^{- x^{2}}$ y simplifica.

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Paso 8.1

Divide cada término en $e^{- x^{2}} y = \ln (| x |) + C$ por $e^{- x^{2}}$ .

$\frac{e^{- x^{2}} y}{e^{- x^{2}}} = \frac{\ln (| x |)}{e^{- x^{2}}} + \frac{C}{e^{- x^{2}}}$

Paso 8.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.1

Cancela el factor común de $e^{- x^{2}}$ .

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Paso 8.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{- x^{2}} y}{e^{- x^{2}}} = \frac{\ln (| x |)}{e^{- x^{2}}} + \frac{C}{e^{- x^{2}}}$

Paso 8.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\ln (| x |)}{e^{- x^{2}}} + \frac{C}{e^{- x^{2}}}$