Cálculo Ejemplos

$x^{2} d y + (2 x y - x + 1) d x = 0$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial para que se ajuste a la técnica de ecuación diferencial exacta.

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Paso 1.1

Reescribe.

$(2 x y - x + 1) d x + x^{2} d y = 0$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = 2 x y - x + 1$ .

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Paso 2.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y - x + 1]$

Paso 2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x y - x + 1$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [1]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [2 x y]$ .

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Paso 2.3.1

Como $2 x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $2 x y$ con respecto a $y$ es $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [1]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [1]$

Paso 2.3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [1]$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.4.1

Como $- x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- x$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + 0 + \frac{d}{d y} [1]$

Paso 2.4.2

Como $1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $1$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + 0 + 0$

Paso 2.5

Combina los términos.

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Paso 2.5.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + 0$

Paso 2.5.2

Suma $2 x$ y $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x$

Paso 3

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = x^{2}$ .

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Paso 3.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x$

Paso 4

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 4.1

Sustituye $2 x$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $2 x$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 x = 2 x$

Paso 4.2

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$2 x = 2 x$ es una identidad.

Paso 5

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x^{2} d y$

Paso 6

Integra $N (x, y) = x^{2}$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 6.1

Aplica la regla de la constante.

$f (x, y) = x^{2} y + C$

Paso 7

Como la integral de $g (x)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = x^{2} y + g (x)$

Paso 8

Establece $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 x y - x + 1$

Paso 9

Obtén $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Paso 9.1

Diferencia $f$ con respecto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y + g (x)] = 2 x y - x + 1$

Paso 9.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} y + g (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y - x + 1$

Paso 9.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

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Paso 9.3.1

Como $y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $x^{2} y$ con respecto a $x$ es $y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y - x + 1$

Paso 9.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$y (2 x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y - x + 1$

Paso 9.3.3

Mueve $2$ a la izquierda de $y$ .

$2 y x + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y - x + 1$

Paso 9.4

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (x)$ es $\frac{d g}{d x}$ .

$2 y x + \frac{d g}{d x} = 2 x y - x + 1$

Paso 9.5

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d x} + 2 x y = 2 x y - x + 1$

Paso 10

Resuelve $\frac{d g}{d x}$

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Paso 10.1

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d g}{d x}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 10.1.1

Resta $2 x y$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d x} = 2 x y - x + 1 - 2 x y$

Paso 10.1.2

Combina los términos opuestos en $2 x y - x + 1 - 2 x y$ .

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Paso 10.1.2.1

Resta $2 x y$ de $2 x y$ .

$\frac{d g}{d x} = - x + 1 + 0$

Paso 10.1.2.2

Suma $- x + 1$ y $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - x + 1$

Paso 11

Obtén la antiderivada de $- x + 1$ y obtén $g (x)$ .

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Paso 11.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d x} = - x + 1$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - x + 1 d x$

Paso 11.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - x + 1 d x$

Paso 11.3

Divide la única integral en varias integrales.

$g (x) = \int - x d x + \int d x$

Paso 11.4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$g (x) = - \int x d x + \int d x$

Paso 11.5

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = - (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int d x$

Paso 11.6

Aplica la regla de la constante.

$g (x) = - (\frac{1}{2} x^{2} + C) + x + C$

Paso 11.7

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$g (x) = - (\frac{x^{2}}{2} + C) + x + C$

Paso 11.8

Simplifica.

$g (x) = - \frac{1}{2} x^{2} + x + C$

Paso 12

Sustituye por $g (x)$ en $f (x, y) = x^{2} y + g (x)$ .

$f (x, y) = x^{2} y - \frac{1}{2} x^{2} + x + C$

Paso 13

Combina $x^{2}$ y $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = x^{2} y - \frac{x^{2}}{2} + x + C$