Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x^{3} + e^{x}}{5 y^{4}}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $y^{4}$ .

$y^{4} \frac{d y}{d x} = y^{4} \frac{4 x^{3} + e^{x}}{5 y^{4}}$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $y^{4}$ .

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Paso 1.2.1

Factoriza $y^{4}$ de $5 y^{4}$ .

$y^{4} \frac{d y}{d x} = y^{4} \frac{4 x^{3} + e^{x}}{y^{4} \cdot 5}$

Paso 1.2.2

Cancela el factor común.

$y^{4} \frac{d y}{d x} = y^{4} \frac{4 x^{3} + e^{x}}{y^{4} \cdot 5}$

Paso 1.2.3

Reescribe la expresión.

$y^{4} \frac{d y}{d x} = \frac{4 x^{3} + e^{x}}{5}$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$y^{4} d y = \frac{4 x^{3} + e^{x}}{5} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int y^{4} d y = \int \frac{4 x^{3} + e^{x}}{5} d x$

Paso 2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{4}$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{5} y^{5}$ .

$\frac{1}{5} y^{5} + C_{1} = \int \frac{4 x^{3} + e^{x}}{5} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $\frac{1}{5}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{5}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{5} y^{5} + C_{1} = \frac{1}{5} \int 4 x^{3} + e^{x} d x$

Paso 2.3.2

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{1}{5} y^{5} + C_{1} = \frac{1}{5} (\int 4 x^{3} d x + \int e^{x} d x)$

Paso 2.3.3

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$\frac{1}{5} y^{5} + C_{1} = \frac{1}{5} (4 \int x^{3} d x + \int e^{x} d x)$

Paso 2.3.4

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{5} y^{5} + C_{1} = \frac{1}{5} (4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) + \int e^{x} d x)$

Paso 2.3.5

La integral de $e^{x}$ con respecto a $x$ es $e^{x}$ .

$\frac{1}{5} y^{5} + C_{1} = \frac{1}{5} (4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) + e^{x} + C_{3})$

Paso 2.3.6

Simplifica.

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Paso 2.3.6.1

Combina $\frac{1}{4}$ y $x^{4}$ .

$\frac{1}{5} y^{5} + C_{1} = \frac{1}{5} (4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{2}) + e^{x} + C_{3})$

Paso 2.3.6.2

Simplifica.

$\frac{1}{5} y^{5} + C_{1} = \frac{1}{5} (x^{4} + e^{x}) + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$\frac{1}{5} y^{5} = \frac{1}{5} (x^{4} + e^{x}) + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $5$ .

$5 (\frac{1}{5} y^{5}) = 5 (\frac{1}{5} (x^{4} + e^{x}) + K)$

Paso 3.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1.1

Simplifica $5 (\frac{1}{5} y^{5})$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Combina $\frac{1}{5}$ y $y^{5}$ .

$5 \frac{y^{5}}{5} = 5 (\frac{1}{5} (x^{4} + e^{x}) + K)$

Paso 3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$5 \frac{y^{5}}{5} = 5 (\frac{1}{5} (x^{4} + e^{x}) + K)$

Paso 3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y^{5} = 5 (\frac{1}{5} (x^{4} + e^{x}) + K)$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica $5 (\frac{1}{5} (x^{4} + e^{x}) + K)$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{5} = 5 (\frac{1}{5} x^{4} + \frac{1}{5} e^{x} + K)$

Paso 3.2.2.1.1.2

Combina $\frac{1}{5}$ y $x^{4}$ .

$y^{5} = 5 (\frac{x^{4}}{5} + \frac{1}{5} e^{x} + K)$

Paso 3.2.2.1.1.3

Combina $\frac{1}{5}$ y $e^{x}$ .

$y^{5} = 5 (\frac{x^{4}}{5} + \frac{e^{x}}{5} + K)$

Paso 3.2.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{5} = 5 \frac{x^{4}}{5} + 5 \frac{e^{x}}{5} + 5 K$

Paso 3.2.2.1.3

Simplifica.

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Paso 3.2.2.1.3.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 3.2.2.1.3.1.1

Cancela el factor común.

$y^{5} = 5 \frac{x^{4}}{5} + 5 \frac{e^{x}}{5} + 5 K$

Paso 3.2.2.1.3.1.2

Reescribe la expresión.

$y^{5} = x^{4} + 5 \frac{e^{x}}{5} + 5 K$

Paso 3.2.2.1.3.2

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 3.2.2.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$y^{5} = x^{4} + 5 \frac{e^{x}}{5} + 5 K$

Paso 3.2.2.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$y^{5} = x^{4} + e^{x} + 5 K$

Paso 3.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \sqrt[5]{x^{4} + e^{x} + 5 K}$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = \sqrt[5]{x^{4} + e^{x} + K}$