Cálculo Ejemplos

$x^{2} d x + (x y - y) d y = 0$

Paso 1

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = x^{2}$ .

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Paso 1.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2}]$

Paso 1.2

Como $x^{2}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $x^{2}$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = x y - y$ .

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Paso 2.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y - y]$

Paso 2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x y - y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [x y]$ .

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Paso 2.3.1

Como $y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $x y$ con respecto a $x$ es $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y]$

Paso 2.3.3

Multiplica $y$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y + \frac{d}{d x} [- y]$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.4.1

Como $- y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- y$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y + 0$

Paso 2.4.2

Suma $y$ y $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y$

Paso 3

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 3.1

Sustituye $0$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $y$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$0 = y$

Paso 3.2

Como el lado izquierdo no es igual al lado derecho, la ecuación no es una identidad.

$0 = y$ no es una identidad.

Paso 4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Paso 4.1

Sustituye $0$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{0 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Paso 4.2

Sustituye $y$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{0 - y}{N}$

Paso 4.3

Sustituye $x y - y$ por $N$ .

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Paso 4.3.1

Sustituye $x y - y$ por $N$ .

$\frac{0 - y}{x y - y}$

Paso 4.3.2

Resta $y$ de $0$ .

$\frac{- y}{x y - y}$

Paso 4.3.3

Factoriza $y$ de $x y - y$ .

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Paso 4.3.3.1

Factoriza $y$ de $x y$ .

$\frac{- y}{y x - y}$

Paso 4.3.3.2

Factoriza $y$ de $- y$ .

$\frac{- y}{y x + y \cdot - 1}$

Paso 4.3.3.3

Factoriza $y$ de $y x + y \cdot - 1$ .

$\frac{- y}{y (x - 1)}$

Paso 4.3.4

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 4.3.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{- y}{y (x - 1)}$

Paso 4.3.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1}{x - 1}$

Paso 4.3.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{x - 1}$

Paso 4.4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{x - 1} d x}$

Paso 5

Evalúa la integral $e^{\int - \frac{1}{x - 1} d x}$ .

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Paso 5.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{x - 1} d x}$

Paso 5.2

Sea $u = x - 1$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 5.2.1

Deja $u = x - 1$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 5.2.1.1

Diferencia $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 5.2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 5.2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 5.2.1.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 5.2.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 5.2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{u} d u}$

Paso 5.3

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| u |) + C)}$

Paso 5.4

Simplifica.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| u |)} + C$

Paso 5.5

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - 1$ .

$μ (x, y) = e^{- \ln (| x - 1 |)} + C$

Paso 5.6

Simplifica cada término.

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Paso 5.6.1

Simplifica $- \ln (| x - 1 |)$ al mover $- 1$ dentro del algoritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x - 1 |}^{- 1})} + C$

Paso 5.6.2

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$μ (x, y) = {| x - 1 |}^{- 1} + C$

Paso 5.6.3

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| x - 1 |} + C$

Paso 6

Multiplica ambos lados de $x^{2} d x + (x y - y) d y = 0$ por el factor integrador $\frac{1}{x - 1}$ .

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Paso 6.1

Multiplica $x^{2}$ por $\frac{1}{x - 1}$ .

$x^{2} \frac{1}{x - 1} d x + (x y - y) d y = 0$

Paso 6.2

Combina $x^{2}$ y $\frac{1}{x - 1}$ .

$\frac{x^{2}}{x - 1} d x + (x y - y) d y = 0$

Paso 6.3

Multiplica $x y - y$ por $\frac{1}{x - 1}$ .

$\frac{x^{2}}{x - 1} d x + (x y - y) \frac{1}{x - 1} d y = 0$

Paso 6.4

Multiplica $x y - y$ por $\frac{1}{x - 1}$ .

$\frac{x^{2}}{x - 1} d x + \frac{x y - y}{x - 1} d y = 0$

Paso 6.5

Factoriza $y$ de $x y - y$ .

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Paso 6.5.1

Factoriza $y$ de $x y$ .

$\frac{x^{2}}{x - 1} d x + \frac{y x - y}{x - 1} d y = 0$

Paso 6.5.2

Factoriza $y$ de $- y$ .

$\frac{x^{2}}{x - 1} d x + \frac{y x + y \cdot - 1}{x - 1} d y = 0$

Paso 6.5.3

Factoriza $y$ de $y x + y \cdot - 1$ .

$\frac{x^{2}}{x - 1} d x + \frac{y (x - 1)}{x - 1} d y = 0$

Paso 6.6

Cancela el factor común de $x - 1$ .

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Paso 6.6.1

Cancela el factor común.

$\frac{x^{2}}{x - 1} d x + \frac{y (x - 1)}{x - 1} d y = 0$

Paso 6.6.2

Divide $y$ por $1$ .

$\frac{x^{2}}{x - 1} d x + y d y = 0$

Paso 7

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y d y$

Paso 8

Integra $N (x, y) = y$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 8.1

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + C$

Paso 9

Como la integral de $g (x)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + g (x)$

Paso 10

Establece $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{x^{2}}{x - 1}$

Paso 11

Obtén $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Paso 11.1

Diferencia $f$ con respecto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2} + g (x)] = \frac{x^{2}}{x - 1}$

Paso 11.2

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{1}{2} y^{2} + g (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2}}{x - 1}$

Paso 11.3

Como $\frac{1}{2} y^{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{1}{2} y^{2}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2}}{x - 1}$

Paso 11.4

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (x)$ es $\frac{d g}{d x}$ .

$0 + \frac{d g}{d x} = \frac{x^{2}}{x - 1}$

Paso 11.5

Suma $0$ y $\frac{d g}{d x}$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{x^{2}}{x - 1}$

Paso 12

Obtén la antiderivada de $\frac{x^{2}}{x - 1}$ y obtén $g (x)$ .

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Paso 12.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d x} = \frac{x^{2}}{x - 1}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \frac{x^{2}}{x - 1} d x$

Paso 12.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int \frac{x^{2}}{x - 1} d x$

Paso 12.3

Divide $x^{2}$ por $x - 1$ .

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Paso 12.3.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

Paso 12.3.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

					$x$
	$x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

Paso 12.3.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	-	$x$

Paso 12.3.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{2} - x$ .

				$x$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$

Paso 12.3.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x$

Paso 12.3.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x$	+	$0$

Paso 12.3.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x$	+	$0$

Paso 12.3.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x$	+	$0$
					+	$x$	-	$1$

Paso 12.3.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x - 1$ .

				$x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x$	+	$0$
					-	$x$	+	$1$

Paso 12.3.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x$	+	$0$
					-	$x$	+	$1$
							+	$1$

Paso 12.3.11

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$g (x) = \int x + 1 + \frac{1}{x - 1} d x$

Paso 12.4

Divide la única integral en varias integrales.

$g (x) = \int x d x + \int d x + \int \frac{1}{x - 1} d x$

Paso 12.5

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C + \int d x + \int \frac{1}{x - 1} d x$

Paso 12.6

Aplica la regla de la constante.

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C + x + C + \int \frac{1}{x - 1} d x$

Paso 12.7

Sea $u = x - 1$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 12.7.1

Deja $u = x - 1$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 12.7.1.1

Diferencia $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 12.7.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 12.7.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 12.7.1.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 12.7.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 12.7.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C + x + C + \int \frac{1}{u} d u$

Paso 12.8

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C + x + C + \ln (| u |) + C$

Paso 12.9

Simplifica.

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + x + \ln (| u |) + C$

Paso 12.10

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - 1$ .

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + x + \ln (| x - 1 |) + C$

Paso 13

Sustituye por $g (x)$ en $f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + \frac{1}{2} x^{2} + x + \ln (| x - 1 |) + C$

Paso 14

Simplifica $f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + \frac{1}{2} x^{2} + x + \ln (| x - 1 |) + C$ .

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Paso 14.1

Simplifica cada término.

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Paso 14.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} + \frac{1}{2} x^{2} + x + \ln (| x - 1 |) + C$

Paso 14.1.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} + \frac{x^{2}}{2} + x + \ln (| x - 1 |) + C$

Paso 14.2

Para escribir $\ln (| x - 1 |)$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} + x + \frac{y^{2}}{2} + \ln (| x - 1 |) \cdot \frac{2}{2} + C$

Paso 14.3

Combina $\ln (| x - 1 |)$ y $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} + x + \frac{y^{2}}{2} + \frac{\ln (| x - 1 |) \cdot 2}{2} + C$

Paso 14.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} + x + \frac{y^{2} + \ln (| x - 1 |) \cdot 2}{2} + C$

Paso 14.5

Simplifica el numerador.

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Paso 14.5.1

Multiplica $\ln (| x - 1 |) \cdot 2$ .

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Paso 14.5.1.1

Reordena $\ln (| x - 1 |)$ y $2$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} + x + \frac{y^{2} + 2 \cdot \ln (| x - 1 |)}{2} + C$

Paso 14.5.1.2

Simplifica $2 \cdot \ln (| x - 1 |)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} + x + \frac{y^{2} + \ln ({| x - 1 |}^{2})}{2} + C$

Paso 14.5.2

Elimina el valor absoluto en ${| x - 1 |}^{2}$ porque las potenciaciones con potencias pares siempre son positivas.

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} + x + \frac{y^{2} + \ln ({(x - 1)}^{2})}{2} + C$