Cálculo Ejemplos

$x (y + 2) d y = (\ln (x) + 1) d x$

Paso 1

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} (x (y + 2)) d y = \frac{1}{x} (\ln (x) + 1) d x$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{x} (x (y + 2)) d y = \frac{1}{x} (\ln (x) + 1) d x$

Paso 2.1.2

Reescribe la expresión.

$(y + 2) d y = \frac{1}{x} (\ln (x) + 1) d x$

Paso 2.2

Multiplica $\frac{1}{x}$ por $\ln (x) + 1$ .

$(y + 2) d y = \frac{\ln (x) + 1}{x} d x$

Paso 3

Integra ambos lados.

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Paso 3.1

Establece una integral en cada lado.

$\int y + 2 d y = \int \frac{\ln (x) + 1}{x} d x$

Paso 3.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Divide la única integral en varias integrales.

$\int y d y + \int 2 d y = \int \frac{\ln (x) + 1}{x} d x$

Paso 3.2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int 2 d y = \int \frac{\ln (x) + 1}{x} d x$

Paso 3.2.3

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + 2 y + C_{2} = \int \frac{\ln (x) + 1}{x} d x$

Paso 3.2.4

Simplifica.

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + C_{3} = \int \frac{\ln (x) + 1}{x} d x$

Paso 3.3

Integra el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Divide la fracción en varias fracciones.

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + C_{3} = \int \frac{\ln (x)}{x} + \frac{1}{x} d x$

Paso 3.3.2

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + C_{3} = \int \frac{\ln (x)}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Paso 3.3.3

Sea $u = \ln (x)$ . Entonces $d u = \frac{1}{x} d x$ , de modo que $x d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 3.3.3.1

Deja $u = \ln (x)$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 3.3.3.1.1

Diferencia $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Paso 3.3.3.1.2

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Paso 3.3.3.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + C_{3} = \int u d u + \int \frac{1}{x} d x$

Paso 3.3.4

Según la regla de la potencia, la integral de $u$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + C_{3} = \frac{1}{2} u^{2} + C_{4} + \int \frac{1}{x} d x$

Paso 3.3.5

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + C_{3} = \frac{1}{2} u^{2} + C_{4} + \ln (| x |) + C_{5}$

Paso 3.3.6

Simplifica.

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + C_{3} = \frac{1}{2} u^{2} + \ln (| x |) + C_{6}$

Paso 3.3.7

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\ln (x)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + C_{3} = \frac{1}{2} \ln^{2} (x) + \ln (| x |) + C_{6}$

Paso 3.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y = \frac{1}{2} \ln^{2} (x) + \ln (| x |) + C$

Paso 4

Resuelve $y$

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Paso 4.1

Simplifica las expresiones en la ecuación.

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Paso 4.1.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.1.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} + 2 y = \frac{1}{2} \ln^{2} (x) + \ln (| x |) + C$

Paso 4.1.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.1.2.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $\ln^{2} (x)$ .

$\frac{y^{2}}{2} + 2 y = \frac{\ln^{2} (x)}{2} + \ln (| x |) + C$

Paso 4.2

Multiplica cada término en $\frac{y^{2}}{2} + 2 y = \frac{\ln^{2} (x)}{2} + \ln (| x |) + C$ por $2$ para eliminar las fracciones.

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Paso 4.2.1

Multiplica cada término en $\frac{y^{2}}{2} + 2 y = \frac{\ln^{2} (x)}{2} + \ln (| x |) + C$ por $2$ .

$\frac{y^{2}}{2} \cdot 2 + 2 y \cdot 2 = \frac{\ln^{2} (x)}{2} \cdot 2 + \ln (| x |) \cdot 2 + C \cdot 2$

Paso 4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.2.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y^{2}}{2} \cdot 2 + 2 y \cdot 2 = \frac{\ln^{2} (x)}{2} \cdot 2 + \ln (| x |) \cdot 2 + C \cdot 2$

Paso 4.2.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$y^{2} + 2 y \cdot 2 = \frac{\ln^{2} (x)}{2} \cdot 2 + \ln (| x |) \cdot 2 + C \cdot 2$

Paso 4.2.2.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$y^{2} + 4 y = \frac{\ln^{2} (x)}{2} \cdot 2 + \ln (| x |) \cdot 2 + C \cdot 2$

Paso 4.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.3.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$y^{2} + 4 y = \frac{\ln^{2} (x)}{2} \cdot 2 + \ln (| x |) \cdot 2 + C \cdot 2$

Paso 4.2.3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$y^{2} + 4 y = \ln^{2} (x) + \ln (| x |) \cdot 2 + C \cdot 2$

Paso 4.2.3.1.2

Mueve $2$ a la izquierda de $\ln (| x |)$ .

$y^{2} + 4 y = \ln^{2} (x) + 2 \cdot \ln (| x |) + C \cdot 2$

Paso 4.2.3.1.3

Mueve $2$ a la izquierda de $C$ .

$y^{2} + 4 y = \ln^{2} (x) + 2 \ln (| x |) + 2 C$

Paso 4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.1.1

Simplifica $2 \ln (| x |)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$y^{2} + 4 y = \ln^{2} (x) + \ln ({| x |}^{2}) + 2 C$

Paso 4.3.1.2

Elimina el valor absoluto en ${| x |}^{2}$ porque las potenciaciones con potencias pares siempre son positivas.

$y^{2} + 4 y = \ln^{2} (x) + \ln (x^{2}) + 2 C$

Paso 4.4

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$- \ln (x^{2}) = - y^{2} - 4 y + \ln^{2} (x) + 2 C$

Paso 4.5

Reescribe la ecuación como $- y^{2} - 4 y + \ln^{2} (x) + 2 C = - \ln (x^{2})$ .

$- y^{2} - 4 y + \ln^{2} (x) + 2 C = - \ln (x^{2})$

Paso 4.6

Suma $\ln (x^{2})$ a ambos lados de la ecuación.

$- y^{2} - 4 y + \ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) = 0$

Paso 4.7

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 4.8

Sustituye los valores $a = - 1$ , $b = - 4$ y $c = \ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2})$ en la fórmula cuadrática y resuelve $y$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2})))}}{2 \cdot - 1}$

Paso 4.9

Simplifica.

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Paso 4.9.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.9.1.1

Factoriza $- 4$ de ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}))$ .

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Paso 4.9.1.1.1

Factoriza $- 4$ de ${(- 4)}^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot - 1 \cdot (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}))}}{2 \cdot - 1}$

Paso 4.9.1.1.2

Factoriza $- 4$ de $- 4 \cdot - 1 \cdot (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}))$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (- 1 \cdot (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2})))}}{2 \cdot - 1}$

Paso 4.9.1.1.3

Factoriza $- 4$ de $- 4 \cdot - 4 - 4 (- 1 \cdot (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2})))$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - 1 \cdot (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2})))}}{2 \cdot - 1}$

Paso 4.9.1.2

Factoriza $- 1$ de $- 4 - 1 \cdot (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}))$ .

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Paso 4.9.1.2.1

Reordena $- 4$ y $- 1 \cdot (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}))$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 1 (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2})) - 4)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 4.9.1.2.2

Reescribe $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 1 (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2})) - 1 \cdot 4)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 4.9.1.2.3

Factoriza $- 1$ de $- 1 (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2})) - 1 (4)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 1 (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4))}}{2 \cdot - 1}$

Paso 4.9.1.2.4

Reescribe $- 1 (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4)$ como $- (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4))}}{2 \cdot - 1}$

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot (- 1 (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4))}}{2 \cdot - 1}$

Paso 4.9.1.3

Combina exponentes.

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Paso 4.9.1.3.1

Factoriza el negativo.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- (- 4 (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4))}}{2 \cdot - 1}$

Paso 4.9.1.3.2

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 4.9.1.4

Reescribe $4 (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4)$ como $2^{2} (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 2^{2})$ .

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Paso 4.9.1.4.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 4.9.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 2^{2})}}{2 \cdot - 1}$

Paso 4.9.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 2^{2}}}{2 \cdot - 1}$

Paso 4.9.1.6

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4}}{2 \cdot - 1}$

Paso 4.9.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4}}{- 2}$

Paso 4.9.3

Simplifica $\frac{4 \pm 2 \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4}}{- 2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4}}{- 1}$

Paso 4.9.4

Mueve el negativo del denominador de $\frac{2 \pm \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4}}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot (2 \pm \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4})$

Paso 4.9.5

Reescribe $- 1 \cdot (2 \pm \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4})$ como $- (2 \pm \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4})$ .

$y = - (2 \pm \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4})$

Paso 4.10

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$y = - 2 - \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4}$

$y = - 2 + \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4}$

$y = - 2 - \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4}$

$y = - 2 + \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4}$

Paso 5

Simplifica la constante de integración.

$y = - 2 - \sqrt{\ln^{2} (x) + C + \ln (x^{2}) + 4}$

$y = - 2 + \sqrt{\ln^{2} (x) + C + \ln (x^{2}) + 4}$