Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \tan (x)$ , $y (0) = 1$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d y = \tan (x) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int \tan (x) d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int \tan (x) d x$

Paso 2.3

La integral de $\tan (x)$ con respecto a $x$ es $\ln (| \sec (x) |)$ .

$y + C_{1} = \ln (| \sec (x) |) + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$y = \ln (| \sec (x) |) + C$

Paso 3

Usa la condición inicial para obtener el valor de $C$ mediante la sustitución de $0$ por $x$ y de $1$ por $y$ en $y = \ln (| \sec (x) |) + C$ .

$1 = \ln (| \sec (0) |) + C$

Paso 4

Resuelve $C$

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $\ln (| \sec (0) |) + C = 1$ .

$\ln (| \sec (0) |) + C = 1$

Paso 4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Simplifica $\ln (| \sec (0) |) + C$ .

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Paso 4.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1.1

El valor exacto de $\sec (0)$ es $1$ .

$\ln (| 1 |) + C = 1$

Paso 4.2.1.1.2

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\ln (1) + C = 1$

Paso 4.2.1.1.3

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$0 + C = 1$

Paso 4.2.1.2

Suma $0$ y $C$ .

$C = 1$

Paso 5

Sustituye $1$ por $C$ en $y = \ln (| \sec (x) |) + C$ y simplifica.

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Paso 5.1

Sustituye $1$ por $C$ .

$y = \ln (| \sec (x) |) + 1$