Cálculo Ejemplos

$(x^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = 2 x y$

Paso 1

Separa las variables.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Divide cada término en $(x^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = 2 x y$ por $x^{2} - 1$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1

Divide cada término en $(x^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = 2 x y$ por $x^{2} - 1$ .

$\frac{(x^{2} - 1) \frac{d y}{d x}}{x^{2} - 1} = \frac{2 x y}{x^{2} - 1}$

Paso 1.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.1

Cancela el factor común de $x^{2} - 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{(x^{2} - 1) \frac{d y}{d x}}{x^{2} - 1} = \frac{2 x y}{x^{2} - 1}$

Paso 1.1.2.1.2

Divide $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x y}{x^{2} - 1}$

Paso 1.1.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.3.1

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.3.1.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x y}{x^{2} - 1^{2}}$

Paso 1.1.3.1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x y}{(x + 1) (x - 1)}$

Paso 1.2

Reagrupa los factores.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)} y$

Paso 1.3

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (\frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)} y)$

Paso 1.4

Cancela el factor común de $y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1

Factoriza $y$ de $\frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)} y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)})$

Paso 1.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)})$

Paso 1.4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)}$

Paso 1.5

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{y} d y = \frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Paso 2.2

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Paso 2.3.2

Sea $u = (x + 1) (x - 1)$ . Entonces $d u = 2 x d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.2.1

Deja $u = (x + 1) (x - 1)$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.2.1.1

Diferencia $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 1)]$

Paso 2.3.2.1.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x + 1$ y $g (x) = x - 1$ .

$(x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1] + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 2.3.2.1.3

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.2.1.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$(x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 2.3.2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$(x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 2.3.2.1.3.3

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$(x + 1) (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 2.3.2.1.3.4

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.2.1.3.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$(x + 1) \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 2.3.2.1.3.4.2

Multiplica $x + 1$ por $1$ .

$x + 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 2.3.2.1.3.5

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$x + 1 + (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 2.3.2.1.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x + 1 + (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 2.3.2.1.3.7

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$x + 1 + (x - 1) (1 + 0)$

Paso 2.3.2.1.3.8

Simplifica mediante la adición de términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.2.1.3.8.1

Suma $1$ y $0$ .

$x + 1 + (x - 1) \cdot 1$

Paso 2.3.2.1.3.8.2

Multiplica $x - 1$ por $1$ .

$x + 1 + x - 1$

Paso 2.3.2.1.3.8.3

Suma $x$ y $x$ .

$2 x + 1 - 1$

Paso 2.3.2.1.3.8.4

Simplifica mediante la resta de números.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.2.1.3.8.4.1

Resta $1$ de $1$ .

$2 x + 0$

Paso 2.3.2.1.3.8.4.2

Suma $2 x$ y $0$ .

$2 x$

Paso 2.3.2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Paso 2.3.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.3.1

Multiplica $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Paso 2.3.3.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{2 u} d u$

Paso 2.3.4

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Paso 2.3.5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.5.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Paso 2.3.5.2

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.5.2.1

Cancela el factor común.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Paso 2.3.5.2.2

Reescribe la expresión.

$\ln (| y |) + C_{1} = 1 \int \frac{1}{u} d u$

Paso 2.3.5.3

Multiplica $\int \frac{1}{u} d u$ por $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u} d u$

Paso 2.3.6

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \ln (| u |) + C_{2}$

Paso 2.3.7

Reemplaza todos los casos de $u$ con $(x + 1) (x - 1)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\ln (| y |) = \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C$

Paso 3

Resuelve $y$

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\ln (| y |) - \ln (| (x + 1) (x - 1) |) = C$

Paso 3.2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{| (x + 1) (x - 1) |}) = C$

Paso 3.3

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (\frac{| y |}{| (x + 1) (x - 1) |})} = e^{C}$

Paso 3.4

Reescribe $\ln (\frac{| y |}{| (x + 1) (x - 1) |}) = C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y |}{| (x + 1) (x - 1) |}$

Paso 3.5

Resuelve $y$

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.1

Reescribe la ecuación como $\frac{| y |}{| (x + 1) (x - 1) |} = e^{C}$ .

$\frac{| y |}{| (x + 1) (x - 1) |} = e^{C}$

Paso 3.5.2

Multiplica ambos lados por $| (x + 1) (x - 1) |$ .

$\frac{| y |}{| (x + 1) (x - 1) |} | (x + 1) (x - 1) | = e^{C} | (x + 1) (x - 1) |$

Paso 3.5.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.3.1.1

Cancela el factor común de $| (x + 1) (x - 1) |$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{| y |}{| (x + 1) (x - 1) |} | (x + 1) (x - 1) | = e^{C} | (x + 1) (x - 1) |$

Paso 3.5.3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$| y | = e^{C} | (x + 1) (x - 1) |$

Paso 3.5.3.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.3.2.1

Simplifica $e^{C} | (x + 1) (x - 1) |$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.3.2.1.1

Expande $(x + 1) (x - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.3.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$| y | = e^{C} | x (x - 1) + 1 (x - 1) |$

Paso 3.5.3.2.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$| y | = e^{C} | x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) |$

Paso 3.5.3.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$| y | = e^{C} | x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 |$

Paso 3.5.3.2.1.2

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.3.2.1.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.3.2.1.2.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$| y | = e^{C} | x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 |$

Paso 3.5.3.2.1.2.1.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$| y | = e^{C} | x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 |$

Paso 3.5.3.2.1.2.1.3

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$| y | = e^{C} | x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 |$

Paso 3.5.3.2.1.2.1.4

Multiplica $x$ por $1$ .

$| y | = e^{C} | x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 |$

Paso 3.5.3.2.1.2.1.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$| y | = e^{C} | x^{2} - x + x - 1 |$

Paso 3.5.3.2.1.2.2

Suma $- x$ y $x$ .

$| y | = e^{C} | x^{2} + 0 - 1 |$

Paso 3.5.3.2.1.2.3

Suma $x^{2}$ y $0$ .

$| y | = e^{C} | x^{2} - 1 |$

Paso 3.5.4

Resuelve $y$

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.4.1

Reordena los factores en $e^{C} | x^{2} - 1 |$ .

$| y | = | x^{2} - 1 | e^{C}$

Paso 3.5.4.2

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$y = \pm | x^{2} - 1 | e^{C}$

Paso 4

Agrupa los términos de la constante.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Simplifica la constante de integración.

$y = \pm | x^{2} - 1 | C$

Paso 4.2

Combina constantes con el signo más o menos.

$y = C | x^{2} - 1 |$