Cálculo Ejemplos

$\frac{y - 1}{- y - 1} \cdot \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + x^{2}}$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$\frac{y - 1}{- y - 1} d y = \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{y - 1}{- y - 1} d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Divide $y - 1$ por $- y - 1$ .

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Paso 2.2.1.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$y$

$1$

$y$

$1$

Paso 2.2.1.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $y$ por el término de mayor orden en el divisor $- y$ .

				-	$1$
-	$y$	-	$1$		$y$	-	$1$

Paso 2.2.1.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				-	$1$
-	$y$	-	$1$		$y$	-	$1$
				+	$y$	+	$1$

Paso 2.2.1.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $y + 1$ .

				-	$1$
-	$y$	-	$1$		$y$	-	$1$
				-	$y$	-	$1$

Paso 2.2.1.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				-	$1$
-	$y$	-	$1$		$y$	-	$1$
				-	$y$	-	$1$
						-	$2$

Paso 2.2.1.6

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$\int - 1 - \frac{2}{- y - 1} d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Paso 2.2.2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int - 1 d y + \int - \frac{2}{- y - 1} d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Paso 2.2.3

Aplica la regla de la constante.

$- y + C_{1} + \int - \frac{2}{- y - 1} d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Paso 2.2.4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- y + C_{1} - \int \frac{2}{- y - 1} d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Paso 2.2.5

Dado que $2$ es constante con respecto a $y$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$- y + C_{1} - (2 \int \frac{1}{- y - 1} d y) = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Paso 2.2.6

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- y + C_{1} - 2 \int \frac{1}{- y - 1} d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Paso 2.2.7

Sea $u = - y - 1$ . Entonces $d u = - d y$ , de modo que $- d u = d y$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.2.7.1

Deja $u = - y - 1$ . Obtén $\frac{d u}{d y}$ .

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Paso 2.2.7.1.1

Reescribe.

$\frac{- 1}{1}$

Paso 2.2.7.1.2

Divide $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 2.2.7.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$- y + C_{1} - 2 \int \frac{- 1}{u} d u = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Paso 2.2.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- y + C_{1} - 2 \int - \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Paso 2.2.9

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- y + C_{1} - 2 (- \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Paso 2.2.10

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$- y + C_{1} + 2 \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Paso 2.2.11

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$- y + C_{1} + 2 (\ln (| u |) + C_{2}) = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Paso 2.2.12

Simplifica.

$- y + 2 \ln (| u |) + C_{3} = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Paso 2.2.13

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- y - 1$ .

$- y + 2 \ln (| - y - 1 |) + C_{3} = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$- y + 2 \ln (| - y - 1 |) + C_{3} = \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Paso 2.3.2

La integral de $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ con respecto a $x$ es $\arctan (x) + C_{4}$ .

$- y + 2 \ln (| - y - 1 |) + C_{3} = \arctan (x) + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$- y + 2 \ln (| - y - 1 |) = \arctan (x) + C$