Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = - \cos (\frac{x}{2})$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d y = - \cos (\frac{x}{2}) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int - \cos (\frac{x}{2}) d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int - \cos (\frac{x}{2}) d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = - \int \cos (\frac{x}{2}) d x$

Paso 2.3.2

Sea $u = \frac{x}{2}$ . Entonces $d u = \frac{1}{2} d x$ , de modo que $2 d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.3.2.1

Deja $u = \frac{x}{2}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Diferencia $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Paso 2.3.2.1.2

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Paso 2.3.2.1.4

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{2}$

Paso 2.3.2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$y + C_{1} = - \int \cos (u) \frac{1}{\frac{1}{2}} d u$

Paso 2.3.3

Simplifica.

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Paso 2.3.3.1

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = - \int \cos (u) (1 \cdot 2) d u$

Paso 2.3.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$y + C_{1} = - \int \cos (u) \cdot 2 d u$

Paso 2.3.3.3

Mueve $2$ a la izquierda de $\cos (u)$ .

$y + C_{1} = - \int 2 \cos (u) d u$

Paso 2.3.4

Dado que $2$ es constante con respecto a $u$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = - (2 \int \cos (u) d u)$

Paso 2.3.5

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$y + C_{1} = - 2 \int \cos (u) d u$

Paso 2.3.6

La integral de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $\sin (u)$ .

$y + C_{1} = - 2 (\sin (u) + C_{2})$

Paso 2.3.7

Simplifica.

$y + C_{1} = - 2 \sin (u) + C_{2}$

Paso 2.3.8

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{x}{2}$ .

$y + C_{1} = - 2 \sin (\frac{x}{2}) + C_{2}$

Paso 2.3.9

Reordena los términos.

$y + C_{1} = - 2 \sin (\frac{1}{2} x) + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y = - 2 \sin (\frac{1}{2} x) + K$