Cálculo Ejemplos

$(y^{2} + 1) d x + x^{2} y^{2} d y = 0$

Paso 1

Escribe el problema como una expresión matemática.

$(y^{2} + 1) d x + x^{2} y^{2} d y = 0$

Paso 2

Resta $(y^{2} + 1) d x$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} y^{2} d y = - (y^{2} + 1) d x$

Paso 3

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{x^{2} (y^{2} + 1)}$ .

$\frac{1}{x^{2} (y^{2} + 1)} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} (y^{2} + 1)} (- (y^{2} + 1)) d x$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 4.1.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2} (y^{2} + 1)} (x^{2} (y^{2})) d y = \frac{1}{x^{2} (y^{2} + 1)} (- (y^{2} + 1)) d x$

Paso 4.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{x^{2} (y^{2} + 1)} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} (y^{2} + 1)} (- (y^{2} + 1)) d x$

Paso 4.1.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y^{2} + 1} y^{2} d y = \frac{1}{x^{2} (y^{2} + 1)} (- (y^{2} + 1)) d x$

Paso 4.2

Combina $\frac{1}{y^{2} + 1}$ y $y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{y^{2} + 1} d y = \frac{1}{x^{2} (y^{2} + 1)} (- (y^{2} + 1)) d x$

Paso 4.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{y^{2}}{y^{2} + 1} d y = - \frac{1}{x^{2} (y^{2} + 1)} (y^{2} + 1) d x$

Paso 4.4

Cancela el factor común de $y^{2} + 1$ .

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Paso 4.4.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{x^{2} (y^{2} + 1)}$ al numerador.

$\frac{y^{2}}{y^{2} + 1} d y = \frac{- 1}{x^{2} (y^{2} + 1)} (y^{2} + 1) d x$

Paso 4.4.2

Factoriza $y^{2} + 1$ de $x^{2} (y^{2} + 1)$ .

$\frac{y^{2}}{y^{2} + 1} d y = \frac{- 1}{(y^{2} + 1) x^{2}} (y^{2} + 1) d x$

Paso 4.4.3

Cancela el factor común.

$\frac{y^{2}}{y^{2} + 1} d y = \frac{- 1}{(y^{2} + 1) x^{2}} (y^{2} + 1) d x$

Paso 4.4.4

Reescribe la expresión.

$\frac{y^{2}}{y^{2} + 1} d y = \frac{- 1}{x^{2}} d x$

Paso 4.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{y^{2}}{y^{2} + 1} d y = - \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 5

Integra ambos lados.

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Paso 5.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{y^{2}}{y^{2} + 1} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 5.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1

Divide $y^{2}$ por $y^{2} + 1$ .

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Paso 5.2.1.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$y^{2}$

$0 y$

$1$

$y^{2}$

$0 y$

$0$

Paso 5.2.1.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $y^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $y^{2}$ .

							$1$
	$y^{2}$	+	$0 y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$

Paso 5.2.1.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

						$1$
$y^{2}$	+	$0 y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$
					+	$y^{2}$	+	$0$	+	$1$

Paso 5.2.1.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $y^{2} + 0 + 1$ .

						$1$
$y^{2}$	+	$0 y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$
					-	$y^{2}$	-	$0$	-	$1$

Paso 5.2.1.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

						$1$
$y^{2}$	+	$0 y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$
					-	$y^{2}$	-	$0$	-	$1$
									-	$1$

Paso 5.2.1.6

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$\int 1 - \frac{1}{y^{2} + 1} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 5.2.2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int d y + \int - \frac{1}{y^{2} + 1} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 5.2.3

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} + \int - \frac{1}{y^{2} + 1} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 5.2.4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$y + C_{1} - \int \frac{1}{y^{2} + 1} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 5.2.5

Simplifica la expresión.

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Paso 5.2.5.1

Reordena $y^{2}$ y $1$ .

$y + C_{1} - \int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 5.2.5.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$y + C_{1} - \int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 5.2.6

La integral de $\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ con respecto a $y$ es $\arctan (y) + C_{2}$ .

$y + C_{1} - (\arctan (y) + C_{2}) = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 5.2.7

Simplifica.

$y - \arctan (y) + C_{3} = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 5.3

Integra el lado derecho.

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Paso 5.3.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$y - \arctan (y) + C_{3} = - \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 5.3.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 5.3.2.1

Mueve $x^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$y - \arctan (y) + C_{3} = - \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Paso 5.3.2.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 5.3.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y - \arctan (y) + C_{3} = - \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Paso 5.3.2.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$y - \arctan (y) + C_{3} = - \int x^{- 2} d x$

Paso 5.3.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 2}$ con respecto a $x$ es $- x^{- 1}$ .

$y - \arctan (y) + C_{3} = - (- x^{- 1} + C_{4})$

Paso 5.3.4

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.3.4.1

Reescribe $- (- x^{- 1} + C_{4})$ como $- - \frac{1}{x} + C_{4}$ .

$y - \arctan (y) + C_{3} = - - \frac{1}{x} + C_{4}$

Paso 5.3.4.2

Simplifica.

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Paso 5.3.4.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$y - \arctan (y) + C_{3} = 1 \frac{1}{x} + C_{4}$

Paso 5.3.4.2.2

Multiplica $\frac{1}{x}$ por $1$ .

$y - \arctan (y) + C_{3} = \frac{1}{x} + C_{4}$

Paso 5.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y - \arctan (y) = \frac{1}{x} + K$