Cálculo Ejemplos

$3 (y^{4} + 1) d x + 4 x y^{3} d y = 0$

Paso 1

Resta $3 (y^{4} + 1) d x$ de ambos lados de la ecuación.

$4 x y^{3} d y = - 3 (y^{4} + 1) d x$

Paso 2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{x (y^{4} + 1)}$ .

$\frac{1}{x (y^{4} + 1)} (4 x y^{3}) d y = \frac{1}{x (y^{4} + 1)} (- 3 (y^{4} + 1)) d x$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$4 \frac{1}{x (y^{4} + 1)} (x y^{3}) d y = \frac{1}{x (y^{4} + 1)} (- 3 (y^{4} + 1)) d x$

Paso 3.2

Combina $4$ y $\frac{1}{x (y^{4} + 1)}$ .

$\frac{4}{x (y^{4} + 1)} (x y^{3}) d y = \frac{1}{x (y^{4} + 1)} (- 3 (y^{4} + 1)) d x$

Paso 3.3

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.3.1

Factoriza $x$ de $x y^{3}$ .

$\frac{4}{x (y^{4} + 1)} (x (y^{3})) d y = \frac{1}{x (y^{4} + 1)} (- 3 (y^{4} + 1)) d x$

Paso 3.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{4}{x (y^{4} + 1)} (x y^{3}) d y = \frac{1}{x (y^{4} + 1)} (- 3 (y^{4} + 1)) d x$

Paso 3.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{4}{y^{4} + 1} y^{3} d y = \frac{1}{x (y^{4} + 1)} (- 3 (y^{4} + 1)) d x$

Paso 3.4

Combina $\frac{4}{y^{4} + 1}$ y $y^{3}$ .

$\frac{4 y^{3}}{y^{4} + 1} d y = \frac{1}{x (y^{4} + 1)} (- 3 (y^{4} + 1)) d x$

Paso 3.5

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{4 y^{3}}{y^{4} + 1} d y = - 3 \frac{1}{x (y^{4} + 1)} (y^{4} + 1) d x$

Paso 3.6

Combina $- 3$ y $\frac{1}{x (y^{4} + 1)}$ .

$\frac{4 y^{3}}{y^{4} + 1} d y = \frac{- 3}{x (y^{4} + 1)} (y^{4} + 1) d x$

Paso 3.7

Cancela el factor común de $y^{4} + 1$ .

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Paso 3.7.1

Factoriza $y^{4} + 1$ de $x (y^{4} + 1)$ .

$\frac{4 y^{3}}{y^{4} + 1} d y = \frac{- 3}{(y^{4} + 1) x} (y^{4} + 1) d x$

Paso 3.7.2

Cancela el factor común.

$\frac{4 y^{3}}{y^{4} + 1} d y = \frac{- 3}{(y^{4} + 1) x} (y^{4} + 1) d x$

Paso 3.7.3

Reescribe la expresión.

$\frac{4 y^{3}}{y^{4} + 1} d y = \frac{- 3}{x} d x$

Paso 3.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{4 y^{3}}{y^{4} + 1} d y = - \frac{3}{x} d x$

Paso 4

Integra ambos lados.

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Paso 4.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{4 y^{3}}{y^{4} + 1} d y = \int - \frac{3}{x} d x$

Paso 4.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Dado que $4$ es constante con respecto a $y$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$4 \int \frac{y^{3}}{y^{4} + 1} d y = \int - \frac{3}{x} d x$

Paso 4.2.2

Reescribe $y^{4}$ como ${(y^{4})}^{1}$ .

$4 \int \frac{y^{3}}{{(y^{4})}^{1} + 1} d y = \int - \frac{3}{x} d x$

Paso 4.2.3

Sea $u_{1} = y^{4}$ . Entonces $d u_{1} = 4 y^{3} d y$ , de modo que $\frac{1}{4} d u_{1} = y^{3} d y$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 4.2.3.1

Deja $u_{1} = y^{4}$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Paso 4.2.3.1.1

Diferencia $y^{4}$ .

$\frac{d}{d y} [y^{4}]$

Paso 4.2.3.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$4 y^{3}$

Paso 4.2.3.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$4 \int \frac{1}{{u_{1}}^{1} + 1} \cdot \frac{1}{4} d u_{1} = \int - \frac{3}{x} d x$

Paso 4.2.4

Simplifica.

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Paso 4.2.4.1

Simplifica.

$4 \int \frac{1}{u_{1} + 1} \cdot \frac{1}{4} d u_{1} = \int - \frac{3}{x} d x$

Paso 4.2.4.2

Multiplica $\frac{1}{u_{1} + 1}$ por $\frac{1}{4}$ .

$4 \int \frac{1}{(u_{1} + 1) \cdot 4} d u_{1} = \int - \frac{3}{x} d x$

Paso 4.2.4.3

Mueve $4$ a la izquierda de $u_{1} + 1$ .

$4 \int \frac{1}{4 (u_{1} + 1)} d u_{1} = \int - \frac{3}{x} d x$

Paso 4.2.5

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$4 (\frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{1} + 1} d u_{1}) = \int - \frac{3}{x} d x$

Paso 4.2.6

Simplifica.

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Paso 4.2.6.1

Combina $\frac{1}{4}$ y $4$ .

$\frac{4}{4} \int \frac{1}{u_{1} + 1} d u_{1} = \int - \frac{3}{x} d x$

Paso 4.2.6.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 4.2.6.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{4}{4} \int \frac{1}{u_{1} + 1} d u_{1} = \int - \frac{3}{x} d x$

Paso 4.2.6.2.2

Reescribe la expresión.

$1 \int \frac{1}{u_{1} + 1} d u_{1} = \int - \frac{3}{x} d x$

Paso 4.2.6.3

Multiplica $\int \frac{1}{u_{1} + 1} d u_{1}$ por $1$ .

$\int \frac{1}{u_{1} + 1} d u_{1} = \int - \frac{3}{x} d x$

Paso 4.2.7

Sea $u_{2} = u_{1} + 1$ . Entonces $d u_{2} = d u_{1}$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 4.2.7.1

Deja $u_{2} = u_{1} + 1$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Paso 4.2.7.1.1

Diferencia $u_{1} + 1$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1} + 1]$

Paso 4.2.7.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $u_{1} + 1$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Paso 4.2.7.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Paso 4.2.7.1.4

Como $1$ es constante con respecto a $u_{1}$ , la derivada de $1$ con respecto a $u_{1}$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 4.2.7.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 4.2.7.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int - \frac{3}{x} d x$

Paso 4.2.8

La integral de $\frac{1}{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| u_{2} |) + C_{1} = \int - \frac{3}{x} d x$

Paso 4.2.9

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 4.2.9.1

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $u_{1} + 1$ .

$\ln (| u_{1} + 1 |) + C_{1} = \int - \frac{3}{x} d x$

Paso 4.2.9.2

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $y^{4}$ .

$\ln (| y^{4} + 1 |) + C_{1} = \int - \frac{3}{x} d x$

Paso 4.3

Integra el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\ln (| y^{4} + 1 |) + C_{1} = - \int \frac{3}{x} d x$

Paso 4.3.2

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$\ln (| y^{4} + 1 |) + C_{1} = - (3 \int \frac{1}{x} d x)$

Paso 4.3.3

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\ln (| y^{4} + 1 |) + C_{1} = - 3 \int \frac{1}{x} d x$

Paso 4.3.4

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$\ln (| y^{4} + 1 |) + C_{1} = - 3 (\ln (| x |) + C_{2})$

Paso 4.3.5

Simplifica.

$\ln (| y^{4} + 1 |) + C_{1} = - 3 \ln (| x |) + C_{2}$

Paso 4.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\ln (| y^{4} + 1 |) = - 3 \ln (| x |) + C$

Paso 5

Resuelve $y$

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Paso 5.1

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\ln (| y^{4} + 1 |) + 3 \ln (| x |) = C$

Paso 5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1

Simplifica $\ln (| y^{4} + 1 |) + 3 \ln (| x |)$ .

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Paso 5.2.1.1

Simplifica $3 \ln (| x |)$ al mover $3$ dentro del algoritmo.

$\ln (| y^{4} + 1 |) + \ln ({| x |}^{3}) = C$

Paso 5.2.1.2

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| y^{4} + 1 | {| x |}^{3}) = C$

Paso 5.3

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (| y^{4} + 1 | {| x |}^{3})} = e^{C}$

Paso 5.4

Reescribe $\ln (| y^{4} + 1 | {| x |}^{3}) = C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = | y^{4} + 1 | {| x |}^{3}$

Paso 5.5

Resuelve $y$

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Paso 5.5.1

Reescribe la ecuación como $| y^{4} + 1 | {| x |}^{3} = e^{C}$ .

$| y^{4} + 1 | {| x |}^{3} = e^{C}$

Paso 5.5.2

Divide cada término en $| y^{4} + 1 | {| x |}^{3} = e^{C}$ por ${| x |}^{3}$ y simplifica.

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Paso 5.5.2.1

Divide cada término en $| y^{4} + 1 | {| x |}^{3} = e^{C}$ por ${| x |}^{3}$ .

$\frac{| y^{4} + 1 | {| x |}^{3}}{{| x |}^{3}} = \frac{e^{C}}{{| x |}^{3}}$

Paso 5.5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.5.2.2.1

Cancela el factor común de ${| x |}^{3}$ .

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Paso 5.5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{| y^{4} + 1 | {| x |}^{3}}{{| x |}^{3}} = \frac{e^{C}}{{| x |}^{3}}$

Paso 5.5.2.2.1.2

Divide $| y^{4} + 1 |$ por $1$ .

$| y^{4} + 1 | = \frac{e^{C}}{{| x |}^{3}}$

Paso 5.5.3

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$y^{4} + 1 = \pm \frac{e^{C}}{{| x |}^{3}}$

Paso 5.5.4

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$y^{4} = \pm \frac{e^{C}}{{| x |}^{3}} - 1$

Paso 5.5.5

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \pm \sqrt[4]{\pm \frac{e^{C}}{{| x |}^{3}} - 1}$

Paso 6

Agrupa los términos de la constante.

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Paso 6.1

Simplifica la constante de integración.

$y = \pm \sqrt[4]{\pm \frac{C}{{| x |}^{3}} - 1}$

Paso 6.2

Combina constantes con el signo más o menos.

$y = \pm \sqrt[4]{C \frac{1}{{| x |}^{3}} - 1}$