Cálculo Ejemplos

$y d x + 3 x d y = 0$

Paso 1

Resta $y d x$ de ambos lados de la ecuación.

$3 x d y = - y d x$

Paso 2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{1}{x y} (3 x) d y = \frac{1}{x y} (- y) d x$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$3 \frac{1}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (- y) d x$

Paso 3.2

Combina $3$ y $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{3}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (- y) d x$

Paso 3.3

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.3.1

Factoriza $x$ de $x y$ .

$\frac{3}{x (y)} x d y = \frac{1}{x y} (- y) d x$

Paso 3.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{3}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (- y) d x$

Paso 3.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3}{y} d y = \frac{1}{x y} (- y) d x$

Paso 3.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{3}{y} d y = - \frac{1}{x y} y d x$

Paso 3.5

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 3.5.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{x y}$ al numerador.

$\frac{3}{y} d y = \frac{- 1}{x y} y d x$

Paso 3.5.2

Factoriza $y$ de $x y$ .

$\frac{3}{y} d y = \frac{- 1}{y x} y d x$

Paso 3.5.3

Cancela el factor común.

$\frac{3}{y} d y = \frac{- 1}{y x} y d x$

Paso 3.5.4

Reescribe la expresión.

$\frac{3}{y} d y = \frac{- 1}{x} d x$

Paso 3.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{3}{y} d y = - \frac{1}{x} d x$

Paso 4

Integra ambos lados.

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Paso 4.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{3}{y} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 4.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Dado que $3$ es constante con respecto a $y$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$3 \int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 4.2.2

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$3 (\ln (| y |) + C_{1}) = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 4.2.3

Simplifica.

$3 \ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 4.3

Integra el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$3 \ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

Paso 4.3.2

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$3 \ln (| y |) + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

Paso 4.3.3

Simplifica.

$3 \ln (| y |) + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

Paso 4.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$3 \ln (| y |) = - \ln (| x |) + C$

Paso 5

Resuelve $y$

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Paso 5.1

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$3 \ln (| y |) + \ln (| x |) = C$

Paso 5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1

Simplifica $3 \ln (| y |) + \ln (| x |)$ .

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Paso 5.2.1.1

Simplifica $3 \ln (| y |)$ al mover $3$ dentro del algoritmo.

$\ln ({| y |}^{3}) + \ln (| x |) = C$

Paso 5.2.1.2

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ({| y |}^{3} | x |) = C$

Paso 5.3

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln ({| y |}^{3} | x |)} = e^{C}$

Paso 5.4

Reescribe $\ln ({| y |}^{3} | x |) = C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = {| y |}^{3} | x |$

Paso 5.5

Resuelve $y$

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Paso 5.5.1

Reescribe la ecuación como ${| y |}^{3} | x | = e^{C}$ .

${| y |}^{3} | x | = e^{C}$

Paso 5.5.2

Divide cada término en ${| y |}^{3} | x | = e^{C}$ por $| x |$ y simplifica.

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Paso 5.5.2.1

Divide cada término en ${| y |}^{3} | x | = e^{C}$ por $| x |$ .

$\frac{{| y |}^{3} | x |}{| x |} = \frac{e^{C}}{| x |}$

Paso 5.5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.5.2.2.1

Cancela el factor común de $| x |$ .

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Paso 5.5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{{| y |}^{3} | x |}{| x |} = \frac{e^{C}}{| x |}$

Paso 5.5.2.2.1.2

Divide ${| y |}^{3}$ por $1$ .

${| y |}^{3} = \frac{e^{C}}{| x |}$

Paso 5.5.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$| y | = \sqrt[3]{\frac{e^{C}}{| x |}}$

Paso 5.5.4

Simplifica $\sqrt[3]{\frac{e^{C}}{| x |}}$ .

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Paso 5.5.4.1

Reescribe $\sqrt[3]{\frac{e^{C}}{| x |}}$ como $\frac{\sqrt[3]{e^{C}}}{\sqrt[3]{| x |}}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}}}{\sqrt[3]{| x |}}$

Paso 5.5.4.2

Multiplica $\frac{\sqrt[3]{e^{C}}}{\sqrt[3]{| x |}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{| x |}}^{2}}{{\sqrt[3]{| x |}}^{2}}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}}}{\sqrt[3]{| x |}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{| x |}}^{2}}{{\sqrt[3]{| x |}}^{2}}$

Paso 5.5.4.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 5.5.4.3.1

Multiplica $\frac{\sqrt[3]{e^{C}}}{\sqrt[3]{| x |}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{| x |}}^{2}}{{\sqrt[3]{| x |}}^{2}}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{| x |}}^{2}}{\sqrt[3]{| x |} {\sqrt[3]{| x |}}^{2}}$

Paso 5.5.4.3.2

Eleva $\sqrt[3]{| x |}$ a la potencia de $1$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{| x |}}^{2}}{{\sqrt[3]{| x |}}^{1} {\sqrt[3]{| x |}}^{2}}$

Paso 5.5.4.3.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{| x |}}^{2}}{{\sqrt[3]{| x |}}^{1 + 2}}$

Paso 5.5.4.3.4

Suma $1$ y $2$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{| x |}}^{2}}{{\sqrt[3]{| x |}}^{3}}$

Paso 5.5.4.3.5

Reescribe ${\sqrt[3]{| x |}}^{3}$ como $| x |$ .

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Paso 5.5.4.3.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{| x |}$ como ${| x |}^{\frac{1}{3}}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{| x |}}^{2}}{{({| x |}^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Paso 5.5.4.3.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{| x |}}^{2}}{{| x |}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Paso 5.5.4.3.5.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $3$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{| x |}}^{2}}{{| x |}^{\frac{3}{3}}}$

Paso 5.5.4.3.5.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.5.4.3.5.4.1

Cancela el factor común.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{| x |}}^{2}}{{| x |}^{\frac{3}{3}}}$

Paso 5.5.4.3.5.4.2

Reescribe la expresión.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{| x |}}^{2}}{{| x |}^{1}}$

Paso 5.5.4.3.5.5

Simplifica.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{| x |}}^{2}}{| x |}$

Paso 5.5.4.4

Reescribe ${\sqrt[3]{| x |}}^{2}$ como $\sqrt[3]{{| x |}^{2}}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} \sqrt[3]{{| x |}^{2}}}{| x |}$

Paso 5.5.4.5

Combina con la regla del producto para radicales.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C} {| x |}^{2}}}{| x |}$

Paso 5.5.4.6

Reordena los factores en $\frac{\sqrt[3]{e^{C} {| x |}^{2}}}{| x |}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{{| x |}^{2} e^{C}}}{| x |}$

Paso 5.5.5

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[3]{{| x |}^{2} e^{C}}}{| x |}$

Paso 5.5.6

Elimina el valor absoluto en ${| x |}^{2}$ porque las potenciaciones con potencias pares siempre son positivas.

$y = \pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{C}}}{| x |}$

Paso 6

Simplifica la constante de integración.

$y = \pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} C}}{| x |}$