Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d θ} = \frac{1}{θ^{2}} - \csc (θ) \cot (θ)$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d y = (\frac{1}{θ^{2}} - \csc (θ) \cot (θ)) d θ$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int \frac{1}{θ^{2}} - \csc (θ) \cot (θ) d θ$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{θ^{2}} - \csc (θ) \cot (θ) d θ$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{θ^{2}} d θ + \int - \csc (θ) \cot (θ) d θ$

Paso 2.3.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.3.2.1

Mueve $θ^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$y + C_{1} = \int {(θ^{2})}^{- 1} d θ + \int - \csc (θ) \cot (θ) d θ$

Paso 2.3.2.2

Multiplica los exponentes en ${(θ^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 2.3.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = \int θ^{2 \cdot - 1} d θ + \int - \csc (θ) \cot (θ) d θ$

Paso 2.3.2.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$y + C_{1} = \int θ^{- 2} d θ + \int - \csc (θ) \cot (θ) d θ$

Paso 2.3.3

Según la regla de la potencia, la integral de $θ^{- 2}$ con respecto a $θ$ es $- θ^{- 1}$ .

$y + C_{1} = - θ^{- 1} + C_{2} + \int - \csc (θ) \cot (θ) d θ$

Paso 2.3.4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $θ$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = - θ^{- 1} + C_{2} - \int \csc (θ) \cot (θ) d θ$

Paso 2.3.5

Como la derivada de $- \csc (θ)$ es $\csc (θ) \cot (θ)$ , la integral de $\csc (θ) \cot (θ)$ es $- \csc (θ)$ .

$y + C_{1} = - θ^{- 1} + C_{2} - (- \csc (θ) + C_{3})$

Paso 2.3.6

Simplifica.

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Paso 2.3.6.1

Simplifica.

$y + C_{1} = - \frac{1}{θ} - - \csc (θ) + C_{4}$

Paso 2.3.6.2

Simplifica.

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Paso 2.3.6.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{θ} + 1 \csc (θ) + C_{4}$

Paso 2.3.6.2.2

Multiplica $\csc (θ)$ por $1$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{θ} + \csc (θ) + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y = - \frac{1}{θ} + \csc (θ) + K$